Chủ đề này có 3 trả lời

[Caca]

cho P(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên, giả sử đa thức P(x) chia hết cho 7 với mọi x nguyên .chứng minh tất cả các hệ số của đa thức P(x) đều chia hết cho 7

 

 

 

[L Lawliet]

 

cho P(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên, giả sử đa thức P(x) chia hết cho 7 với mọi x nguyên .chứng minh tất cả các hệ số của đa thức P(x) đều chia hết cho 7

Lời giải.

Xét đa thức $P\left ( x \right )=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ với $a,b,c,d,e\in \mathbb{Z}$ và $a\neq 0$.

Ta có $P\left ( x \right )\vdots 7\forall x\in \mathbb{Z}$ nên:

$P\left ( 0 \right )\vdots 7\Rightarrow e\vdots 7$

$P\left ( 1 \right )=a+b+c+d+e\vdots 7$

$P\left ( -1 \right )=a-b+c-d+e\vdots 7$

Suy ra:

$P\left ( 1 \right )+P\left ( -1 \right )=2a+2c+2e\vdots 7\Rightarrow a+c\vdots 7$

$P\left ( 1 \right )-P\left ( -1 \right )=2b+2d\vdots 7\Rightarrow b+d\vdots 7$

$P\left ( 2 \right )=16a+8b+4c+2d+e\vdots 7\Rightarrow 2a+b+4c+2d\vdots 7\Rightarrow 2c+d\vdots 7$

$P\left ( -2 \right )=16a-8b+4c-2d+e\vdots 7$

$\Rightarrow P\left ( 2 \right )+P\left ( -2 \right )=32a+8c+2e\vdots 7\Rightarrow 4a+c\vdots 7$

Mà $a+c\vdots 7$ do đó $3a\vdots 7$ nên $a\vdots 7$.

[perfectstrong]

Lời giải.

Xét đa thức $P\left ( x \right )=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ với $a,b,c,d,e\in \mathbb{Z}$ và $a\neq 0$.

Ta có $P\left ( x \right )\vdots 7\forall x\in \mathbb{Z}$ nên:

$P\left ( 0 \right )\vdots 7\Rightarrow e\vdots 7$

$P\left ( 1 \right )=a+b+c+d+e\vdots 7$

$P\left ( -1 \right )=a-b+c-d+e\vdots 7$

Suy ra:

$P\left ( 1 \right )+P\left ( -1 \right )=2a+2c+2e\vdots 7\Rightarrow a+c\vdots 7$

$P\left ( 1 \right )-P\left ( -1 \right )=2b+2d\vdots 7\Rightarrow b+d\vdots 7$

$P\left ( 2 \right )=16a+8b+4c+2d+e\vdots 7\Rightarrow 2a+b+4c+2d\vdots 7\Rightarrow 2c+d\vdots 7$

$P\left ( -2 \right )=16a-8b+4c-2d+e\vdots 7$

$\Rightarrow P\left ( 2 \right )+P\left ( -2 \right )=32a+8c+2e\vdots 7\Rightarrow 4a+c\vdots 7$

Mà $a+c\vdots 7$ do đó $3a\vdots 7$ nên $a\vdots 7$.

Có thể mở rộng bài toán lên bằng cách thay $7$ bằng một số nguyên tố $p$ bất kỳ và $P(x)$ là đa thức bậc $n$.

[bangbang1412]

Cho mở rộng rằng nếu đa thức $P$ hệ số nguyên thỏa mãn $deg P =n$ và tồn tại $n+1$ số nguyên đôi một không đồng dư nhau $mod p$ là nghiệm của $P(x) \equiv 0(mod p)$ thì $P$ không có bậc $mod p$ nói cách khác có nhiều nhất $n$ nghiệm $modp$ . Bằng cách khai triển Lagrange hoặc Abel ta có ngay đpcm . ( còn một cách quy nạp )