Chủ đề này có 1 trả lời

[happyfree]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=1+4abc$

Chứng minh rằng: $a+b+c \leq 1+abc$

[superpower]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=1+4abc$

Chứng minh rằng: $a+b+c \leq 1+abc$

Thay $(a;b;c) \rightarrow (\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c})$, ta được bài toán mới

Ta quy về pqr, bđt cần chứng minh trở thành

Cho $p+q=3$

a/ Chứng minh $q < \ 1 +r $

Ta cần chứng minh $r > 2 -p $

Theo bđt Schur bậc 3, ta có $p^3 -4pq +9r \geq 0 <=> r \geq \dfrac{12p-4p^2-p^3}{9} $

Ta cần chứng minh $\dfrac{12p-4p^2-p^3}{9} \geq 2-p <=> p^3+4p^2-21p+18 <0<=> 1,24 <p<2 $

Vậy bđt đúng khi $1,24<p<2 $

Mặt khác, ta có $3=p+q \leq p+\dfrac{p^2}{3} <=> p \geq 1,8 $

Nếu $p \geq 2 $thì $2-p \leq 0 \leq r $

Do đó bài toán được chứng minh