Chủ đề này có 1 trả lời

[mathslover]

Cho ba số thực dương x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 P = $\sum_{cyc}^{\empty}\frac{x^{3}z^{2}}{y^{3}(y^{2}+z^{2})}$

[Namthemaster1234]

Cho ba số thực dương x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 P = $\sum_{cyc}^{\empty}\frac{x^{3}z^{2}}{y^{3}(y^{2}+z^{2})}$

 

Ta sẽ chứng minh $P \geq \frac{3}{2}$

 

Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hoá $xyz=1$

 

Đặt $x=\frac{ab}{c^2}$; $y=\frac{bc}{a^2}$ và $z=\frac{ca}{b^2}$ thì bđt tương đương với:

 

$\sum \frac{b^{15}}{c^9a^6+c^9.b^6} \geq \frac{3}{2}$ hay $\sum \frac{m^5}{n^3.p^2+n^3.m^2} \geq \frac{3}{2}$

 

(với $m=a^3$. $n=b^3$ và $p=c^3$)

 

Ta có: $\sum \frac{m^5}{n^3.p^2+n^3.m^2} \geq \frac{(m^3+n^3+p^3)^2}{ \sum m^3n^2p+ \sum m^3n^3}$

 

Ta phải chứng minh $ \frac{(m^3+n^3+p^3)^2}{ \sum m^3n^2p+ \sum m^3n^3} \geq \frac{3}{2}$

 

hay $2(\sum m^6)+ \sum m^3n^3\geq \sum 3m^3n^2p$

 

Mặt khác ta có: $\sum  m^3np^2 + \sum m^3n^3 + \sum m^3n^2p \geq \sum 3\sqrt[3]{m^3np^2.m^3n^3.m^3n^2p}=\sum 3m^3n^2p$

 

nên ta chỉ cần chứng minh: $2(m^6+n^6+p^6) \geq \sum mnp(\sum m^2n+ \sum mn^2)$.

 

Thật vậy $mnp(\sum m^2n+ \sum mn^2) \leq 2mnp(m^3+n^3+p^3 ) \leq 2\frac{(m^3+n^3+p^3)^2 }{3} \leq 2(m^6+n^6+p^6)$

 

Bất đẳng thức cm xong. Vậy min $P=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 27-07-2016 - 11:24