Chủ đề này có 3 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$ ta có:

$Q=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{6}{5}$

[Element hero Neos]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$ ta có:

$Q=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{6}{5}$

Chuẩn hoá

$a+b+c=3$

Ta có

$\frac{x(3-x)}{x^2+(3-x)^2}-\frac{9}{25}x-\frac{1}{25}=\frac{-(18x+9)(x-1)^2}{25(x^2+(3-x)^2)}\leq0$

Suy ra

$\frac{x(3-x)}{x^2+(3-x)^2}\leq\frac{9}{25}x+\frac{1}{25},\forall x>0$

Áp dụng vào bài toán, có

$Q=\sum\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}\sum\frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq\sum(\frac{9}{25}a+\frac{1}{25})=\frac{6}{5}$

Vậy ta có q.e.d

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 24-07-2016 - 14:38

[tay du ki]

có cách khác không các bạn

[cristianoronaldo]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$ ta có:

$Q=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{6}{5}$

Đây là một cách khác ( hơi dài một tí        )

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a^2+\frac{(b+c)^2}{4}\geq a(b+c)$

Từ đó ta có:

$\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{a(b+c)}{\frac{3(b+c)^2}{4}+a(b+c)}=1-\frac{3(b+c)^2}{3(b+c)^2+4a(b+c)}$

Tương tự các bất đẳng thức còn lại ta cần chứng minh:

P=$\sum \frac{(b+c)^2}{3(b+c)^2+4a(b+c)}\geq \frac{3}{5}$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-Schwarz ta có

$P\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum 3(b+c)^2+\sum 4a(b+c)}$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\frac{4(a+b+c)^2}{\sum 3(b+c)^2+\sum 4a(b+c)}\geq \frac{3}{5}$

Sau khi rút gọn ta chỉ cần chứng minh:

$2(\sum a^2)\geq 2(\sum ab)$(luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c