Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Master]

Tìm tất cả k nguyên dương để phương trình sau có nghiệm nguyên dương

$x^2+y^2+x+y-kxy=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 24-07-2016 - 15:18

[Minhnguyenthe333]

Tìm tất cả k nguyên dương để phương trình sau có nghiệm nguyên dương

$x^2+y^2+x+y-kxy=0$

$PT<=>x^2+x(1-ky)+y^2+y=0$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ min

Theo định lý Viete, tồn tại thêm nghiệm nguyên $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+x=ky-1\\ tx=y^2+y\end{matrix}\right.$

Dễ thấy $t>0$ nên $t\geqslant x\geqslant y$

Khi đó $ky-1=t+x\leqslant 2t<=>x(ky-1)\leqslant 2tx$ hay $x(ky-1)\leqslant 2(y^2+y)$

Chú ý rằng $x\geqslant y$ $=>$ $2(y^2+y)\geqslant y(ky-1)$

$<=>3y\geqslant (k-2)y^2<=>k-2\leqslant \frac{3}{y}\leqslant 3$ kéo theo $k\leqslant 5$

Xét từng trường hợp suy ra $.....$