57. Tricuspoid (Đường cong Tricuspoid – Đường delta cong)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
Tricuspoid hoặc deltoid lần đầu tiên được Euler nghiên cứu năm 1745, liên hệ với bài toán quang học. Steiner cũng khảo sát đường cong này năm 1856 nên còn được gọi là Steiner hypocycloid.
Chiều dài của tiếp tuyến với các tricuspoid, được đo giữa hai điểm P, Q, là 2 giao điểm của tiếp tuyến và đường cong là không đổi và bằng 4a.
Chiều dài của đường cong là 16a và diện tích giới hạn là 
.
Theo dạng tham số chỏm xảy ra tại t = 0, 2π / 3 và 4π / 3. Lưu ý sự giống nhau giữa các dạng tham số của tricuspoid và dạng tham số của cardioid.
Điểm tụ quang của tricuspoid, trong đó các tia song song và theo hướng bất kỳ, là một astroid.
Leonhard Euler (15 tháng 4, 1707 – 18 tháng 9, 1783) là một nhà toán học và nhà vật lý học Thụy Sĩ. Ông (cùng với Archimedes và Newton) được xem là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất. Euler là người đầu tiên sử dụng từ "hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý.
Euler sinh và lớn lên tại Basel, và được xem là thần đồng toán học từ thưở nhỏ. Ông làm giáo sư toán tại Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-Peterburg, là nhà toán học viết nhiều nhất: tất cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập, cũng là nhà toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập. Euler bị mù hoàn toàn trong 17 năm cuối cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho ra hơn nửa số bài ông viết.
Tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler.
Các khám phá
1. Euler cùng với Daniel Bernoulli hoàn thành định luật, ở đó phát biểu rằng lực xoắn trên một sợi dây thun mỏng tỉ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier-Stokes với độ nhớt bằng 0.
2. Euler còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tinh toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler.
3. Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ta hàm totient. Totient của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8.
4. Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân. Năm 1735 ông hoàn thành cơ sở lý thuyết giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài.
5. Một biểu thức nổi tiếng trong toán học, liên hệ giữa hàm mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler:
6. Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân.
7. Ông là người cùng khám phá ra công thức Euler-Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi phức tạp.
8. Trong hình học và topo đại số có công thức Euler, liên hệ giữa các cạnh, đỉnh và mặt của một đa diện. Công thức tổng quát đó là: F - E + V = 2, ở đó F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh.
9. Năm 1736, Euler giải quyết bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hơn, ông chứng minh bài toán không có đáp số. Kết quả được công bố trên bài báo nhan đềSolutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và đó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topology.
Tác phẩm
Euler có khối lượng sách viết đồ sộ nhưng những cuốn sách nổi tiếng nhất của bao gồm:
- Elements of Algebra (Nhập môn Đại số học). Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình đa thức.
- Introductio in analysin infinitorum (1748): Nhập môn về giải tích vô cùng bé.
- Hai cuốn sách có ảnh hưởng về vi tích phân: Institutiones calculi differentialis Phép tính vi phân (1755) và Institutiones calculi integralisPhép tính tích phân (1768–1770).
- Principia motus fluidorum (1761): Nguyên lý chuyển động của chất lưu; cuốn sách trình bày phương trình liên tục và phương trình Euler.
- Lettres à une Princesse d'Allemagne (Lá thư gửi một Quận chúa Đức) (1768–1772). Có trực tuyến (bằng tiếng Pháp). Bản dịch tiếng Anh, có ghi chú, và cuộc đời của Euler có trực tuyến tại Google Books: Tập 1, Tập 2
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). Tựa đề Latin dịch là Phương pháp tìm những đường cong có tính chất cực đại hoặc cực tiểu, hoặc lời giải cho bài toán đẳng cấu trong chừng mực chấp nhận rộng rãi nhất.
Jakob Steiner sinh ngày 18 tháng 3, 1796 là con của Anna Barbara Weber (1757-1832) và Niklaus Steiner (1752-1826) trong gia đình tám người con. Jakob là con út, suốt thời thơ ấu ông phụ giúp cha mẹ mình làm việc tại các trang trại nhỏ và công việc kinh doanh. Dù không được học đọc và viết cho đến năm 14 tuổi, nhưng ông đã tỏ ra có những năng lực hơn người. Tuy vậy Jakob lại muốn làm một điều gì đó tốt hơn cho bản thân mình, trong khi cha mẹ ông rất hài lòng về sự giúp đỡ của ông với công việc nhà. Ở tuổi 18, Jakob Steiner quyết định rời nhà đến học tại trường Johann Heinrich Pestalozzi xứ Yverdom.
Môi trường này đã có một tác động rất đáng kể về thái độ của Steiner trong việc giảng dạy toán học và triết lý của ông khi thực hiện nghiên cứu toán học. Vào mùa thu năm 1818, Steiner rời Yverdom và đến Heidelberg. Ông đã tham dự các bài giảng tại các trường Đại học Heidelberg về giải tích tổ hợp, vi tích phân và đại số. Cũng vào thời gian này, ông đã bắt đầu quan tâm đến cơ học, đã viết ba bản thảo chưa được xuất bản về chủ đề này năm 1821, năm 1824 và 1825. Năm 1825, Steiner được bổ nhiệm làm trợ giảng tại Trường Kỹ thuật Berlin.
Vào năm 1832, Steiner xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông " Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander " (Hệ thống phát triển về sự phụ thuộc của các dạng hình học). Phần lớn tư liệu đã xuất hiện trong các bài báo của Steiner trong sáu năm trước đó. Lời nói đầu của cuốn sách này cung cấp cho một cái nhìn thú vị về cách tiếp cận của Steiner đối với toán học nói chung và tư liệu hình học của cuốn sách nói riêng.
Chẳng bao lâu sau Steiner đã được vinh danh vì những thành tích vượt trội của mình. Ông được trao bằng tiến sĩ danh dự của trường Đại học Königsberg vào ngày 20 tháng 4 năm 1833 theo đề nghị của Jacobi, sau đó được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Phổ vào ngày 05 Tháng Sáu năm 1834. Jakob Steiner được bổ nhiệm làm giáo sư về bộ môn hình học tại Đại học Berlin vào ngày 08 tháng 10, 1834. Ông đến Rome vào năm 1844 và trong chuyến thăm này, ông đã dành thời gian nghiên cứu mặt bậc 4 thuộc lớp thứ ba - danh từ chuyên ngành hiện đại gọi là ' mặt Roman ' hoặc 'mặt Steiner'. Ông đã trải qua mùa đông 1854-55 tại Paris và trong thời gian đó ông được bầu vào Académie des Sciences (Pháp).
Ông là một trong những người có đóng góp lớn nhất đối với bộ môn hình học xạ ảnh. Ông phát hiện ra 'mặt Steiner',- là bề mặt trong đó có một số vô hạn kép các tiết diện conic trên nó. Một kết quả nổi tiếng khác là "định lý Poncelet-Steiner" trong đó cho thấy rằng chỉ cần có một đường tròn và đường thẳng cho các cấu trúc hình học Euclide.
Mười năm cuối cùng của cuộc đời của Steiner đầy dẫy khó khăn bệnh tật. Căn bệnh về thận khiến ông phải mất nhiều thời gian điều trị ở Thụy Sĩ, ông chỉ đến Berlin vào các mùa đông để cung cấp các bài giảng của mình. Cuối cùng, vì bệnh quá nặng ông đã hoàn toàn nằm liệt giường và không thể thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được nữa. Steiner không lập gia đình vì thế toàn bộ tài sản của ông đều dành cho khoa học và từ thiện. Một phần ba của tài sản này đã trao cho Viện Hàn lâm Berlin để thành lập giải thưởng Steiner. Phần còn lại được chia cho người thân của ông và các trường học ở quê hương Utzenstorf. Mong muốn cuối cùng của Jakob Steiner là trẻ em nghèo ở quê nhà có thể có được một cơ hội giáo dục tốt hơn so với bản thân ông đã có.
Hình dạng tricuspoid có trong thế giới tự nhiên
