Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$
(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)
Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$
(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)
Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$
(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)
Bạn chứng minh được $f(x)$ là đơn ánh không?
Nếu có thì lời giải như sau:
Từ giả thiết thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$
Trong giả thiết lấy $f$ 2 vế ta được:
$f(f(x+f(y)))=f[f(x+y)+f(y)]\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(f(x+y)+y)+f(y)\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(2y+x)+f(x+y)+f(y)$
Kết hợp với giả thiết được : $f(x+f(y))=f(2y+x)$
Lại có $f$ đơn ánh suy ra $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$
I AM UNNAMED
Bạn chứng minh được $f(x)$ là đơn ánh không?
Nếu có thì lời giải như sau:
Từ giả thiết thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$
Trong giả thiết lấy $f$ 2 vế ta được:
$f(f(x+f(y)))=f[f(x+y)+f(y)]\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(f(x+y)+y)+f(y)\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(2y+x)+f(x+y)+f(y)$
Kết hợp với giả thiết được : $f(x+f(y))=f(2y+x)$
Lại có $f$ đơn ánh suy ra $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$
Không có biến tự do thì sao chứng minh đơn ánh được bạn @@
Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$
(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)
Bài này cho thiếu dữ kiện rồi bạn ơi
Như vầy giải không ra đâu
Thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$ (*)
Tính $f(f(x+f(y))$ bằng hai cách ta được $f(x+2y)=f(x+y)+f(y)$.
Thay vào đề ta có $f(x+f(y))=f(x+2y)$
TH1: $\exists y, f(y)-2y=a\neq 0$ suy ra $f$ tuần hoán với chu kì $a$ nên $f$ có GTLL và GTNN, ta đặt lần lượt là $M, N$.
Đặt $S$ là tập giá trị của $f$. Từ (*) ta có $x\in S\Rightarrow f(x)=2x$.
Ta có $2M=f(M)\in S$. Từ cách chọn $M$ ta có $2M\leq M\Rightarrow M\leq 0$. Tương tự $N\geq 0$.Vậy $N=M=0$ suy ra $f(x)=0$
TH2:$\forall y, f(y)-2y=0$. Ta có $f(x)=2x$
Thử lại ta có PT có hai nghiệm như trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-08-2016 - 15:39
For the love of Canidae
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh