Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$

- - - - - inex 2016 pth

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$

 

(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#2
No Moniker

No Moniker

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$

 

(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)

Bạn chứng minh được $f(x)$ là đơn ánh không?

Nếu có thì lời giải như sau:

Từ giả thiết thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$

Trong giả thiết lấy $f$ 2 vế ta được:

$f(f(x+f(y)))=f[f(x+y)+f(y)]\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(f(x+y)+y)+f(y)\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(2y+x)+f(x+y)+f(y)$

Kết hợp với giả thiết được : $f(x+f(y))=f(2y+x)$

Lại có $f$ đơn ánh suy ra $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$


I AM UNNAMED


#3
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Bạn chứng minh được $f(x)$ là đơn ánh không?

Nếu có thì lời giải như sau:

Từ giả thiết thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$

Trong giả thiết lấy $f$ 2 vế ta được:

$f(f(x+f(y)))=f[f(x+y)+f(y)]\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(f(x+y)+y)+f(y)\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(2y+x)+f(x+y)+f(y)$

Kết hợp với giả thiết được : $f(x+f(y))=f(2y+x)$

Lại có $f$ đơn ánh suy ra $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$

Không có biến tự do thì sao chứng minh đơn ánh được bạn @@



#4
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$

 

(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)

Bài này cho thiếu dữ kiện rồi bạn ơi

Như vầy giải không ra đâu



#5
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$ (*)

Tính $f(f(x+f(y))$ bằng hai cách ta được $f(x+2y)=f(x+y)+f(y)$.

Thay vào đề ta có $f(x+f(y))=f(x+2y)$

TH1: $\exists y, f(y)-2y=a\neq 0$ suy ra $f$ tuần hoán với chu kì $a$ nên $f$ có GTLL và GTNN, ta đặt lần lượt là $M, N$.

Đặt  $S$ là tập giá trị của $f$. Từ (*) ta có $x\in S\Rightarrow f(x)=2x$.

Ta có $2M=f(M)\in S$. Từ cách chọn $M$ ta có $2M\leq M\Rightarrow M\leq 0$. Tương tự $N\geq 0$.Vậy $N=M=0$ suy ra $f(x)=0$

TH2:$\forall y, f(y)-2y=0$. Ta có $f(x)=2x$

Thử lại ta có PT có hai nghiệm như trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-08-2016 - 15:39






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inex, 2016, pth

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh