Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. CMR: $P=(x+2y+3z)(x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3})\le 12$.
Tổng quát cho dạng này:
Cho $0<a\le b\le c$ và $0<x,y,z$. Chứng minh rằng:
$(ax+by+cz)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\le \frac{(a+c)^2}{4ac}(x+y+z)^2$
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. CMR: $P=(x+2y+3z)(x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3})\le 12$.
Tổng quát cho dạng này:
Cho $0<a\le b\le c$ và $0<x,y,z$. Chứng minh rằng:
$(ax+by+cz)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\le \frac{(a+c)^2}{4ac}(x+y+z)^2$
$(x+2y+3z)(x+ \frac{y}{2} + \frac{z}{3}) = \frac{1}{3}.(x+2y+3z)(3x+ \frac{3y}{2} + z) \le \frac{1}{3}.\frac{(x+2y+3z+3x+1,5y+z)^2}{4} = \frac{1}{12}.(4x+3,5y+4z)^2 < \frac{1}{12}.(4x+4y+4z)^2=12$
$(x+2y+3z)(x+ \frac{y}{2} + \frac{z}{3}) = \frac{1}{3}.(x+2y+3z)(3x+ \frac{3y}{2} + z) \le \frac{1}{3}.\frac{(x+2y+3z+3x+1,5y+z)^2}{4} = \frac{1}{12}.(4x+3,5y+4z)^2 < \frac{1}{12}.(4x+4y+4z)^2=12$
Mình chứng minh trường hợp tổng quát như sau:
Đặt $f(x)=x^2-(a+c)x+ac=0$ có 2 nghiệm $a,c$.
Mà $a\le b\le c\implies f(b)\le 0\iff b^2-(a+c)b+ac\le 0$
$\iff b+\frac{ac}{b}\le a+c\iff yb+ac\frac{y}{b}\le (a+c)y$.
$\iff (xa+ac\frac{x}{a})+(yb+ac\frac{y}{b})+(zc+ca\frac{z}{c})\le (a+c)x+(a+c)y+(a+c)z$
$\implies xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\le (a+c)(x+y+z)(1)$.
Theo BDT CauChy ta có:
$2\sqrt{(xa+yb+zc)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})}\le (a+c)(x+y+z)(\text{ do (1)})$
$\iff 4(xa+yb+zc)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\le (a+c)^2(x+y+z)^2$
$\iff (xa+yb+zc)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\le \frac{(a+c)^2}{4ac}(x+y+z)^2(dpcm)$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR:$\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b+1}\ge 1$Started by tritanngo99, 25-07-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}$Started by tritanngo99, 27-04-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $(ab-2)^2+1\ge a^3+b^3$Started by tritanngo99, 06-04-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $7(ab+bc+ca)^2\ge 18abc+27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$Started by tritanngo99, 13-01-2017 bdt_3 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\sum_{k=0}^nC_{n}^k(k-nx)^2x^k(1-x)^{n-k}\le \frac{n}{4}$.Started by tritanngo99, 19-10-2016 bdt_3 |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users