cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$
cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$
Đây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn
Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$
Ta có : $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$
=$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$
Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$
Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$
có cách nào khác không các bạnĐây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn
Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$
Ta có : $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$
=$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$
Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$
Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
SOS
bạn trình bày giùm mình vớiSOS
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
Bạn có thể search google mình chỉ nói thế thôi chứ chua ra
cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$
Ta có $\sum (\frac{x^2+y^2}{x+y} - \frac{x+y}{2}) \geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} - (x+y+z)$
$<=> \sum \frac{(x-y)^2}{2(x+y)} - \sum \frac{(x-y)^2}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} + x+y+z} \geq 0 $
$<=> \sum (x-y)^2(\frac{1}{2(x+y)} - \frac{1}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} +x+y+z} ) \geq 0 $
Mà ta có $\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} -x-y-z + 2z >0 $
Do đó, ta có đpcm
Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)
Giờ ta phải cm:
$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$
$(2)$ tuơng đương:
$\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:
$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$
<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$
Để (2) đúng ta phải chứng minh:
$3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)
<=>(2) đúng
Kết hợp (1) ta có:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung110: 26-07-2016 - 11:30
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh