Chủ đề này có 1 trả lời

[the unknown]

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số viết trong hệ thập phân của $n$. Giả sử có ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $S(a+b)<5$, $S(b+c)<5$, $S(c+a)<5$. Tìm giá trị lớn nhất của $S(a+b+c)$.

[redfox]

Đặt $x=a+b, y=b+c, z=c+a$. Khi đó $2(a+b+c)=x+y+z, x<y+z$. Ta giả sử $x\geq y\geq z$. Gọi $n$ là số chữ số của $y$.Vì $S(y)\leq 4$ nên $y\leq 4.10^{n-1}$. Ta có $10^{n-1}\leq y\leq x< y+z\leq 2y\leq 2.4.10^{n-1}=8.10^{n-1}<10^n$. Vậy $x$ có $n$ chữ số.      Xét phép cộng $x+y$. Nếu phép cộng ở hàng nào không nhớ thì tổng các chữ số của $x, y$ giữ nguyên, nếu có nhớ thì tổng các chữ số giảm $9$ đơn vị. Vậy $S(x+y)\leq S(x)+S(y)$. Ta cũng có $S(kx)\leq kS(x)$. Vậy $S(x)=S(10x)\leq 5S(2x)$

Ta có $2.10^{n-1}< x+y+z\leq 12.10^{n-1}$                                                                                                           

Nếu $n= 1$ thì $S(a+b+c)\leq 6$.

Ta giả sử $n\geq 2$                                                                                                                                               Nếu $x+y+z$ có chữ số đầu tiên là $1$ thì phép cộng trên có nhớ. Vậy  $S(a+b+c)\leq 5S(2(a+b+c)=5S(x+y+z)\leq 5(S(x)+S(y)+S(z)-9)\leq 5(4+4+4-9)=15$.                                         

Trường hợp ngược lại, ta đặt $x=k10^{n-1}+l, y=p10^{n-1}+q$ với $l,k<10^{n-1}$. Ta có $S(x)=S(k10^{n-1}+l)=S(k10^{n-1})+S(l)=k+S(l)$, tương tự $S(y)=p+S(q)$.

Vậy $S(a+b+c)=S((x+y+z)/2)=S((k+p)10^{n-1}/2+(l+q+c)/2)\leq S(5(k+p)10^{n-2})+5(S(l)+S(q)+S(c))\leq S(5(k+p))+60-5(k+p)$

Xét các trường hợp của $k+p$ ta có $S(a+b+c)\leq 51$

Vậy giá trị lớn nhắt của $S(a+b+c)$ là $51$ chẳng hạn khi $a=94445555555, b=5555554445, c=5554445555$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 25-07-2016 - 19:35