Đến nội dung

Hình ảnh

$a, b, c > 0.$ Chứng minh: $\sum \frac{a^3}{a^2+b^2}\geq \frac{\sum a}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Liesel

Liesel

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Bài 1: a, b, c > 0. C/m:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Bài 2: a, b, c > 0. ab + bc + ca = 1. CMR:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

 

Bài 3: a, b, c > 0. CMR:

$\frac{a^{5}}{(b+c)^{3}} + \frac{b^{5}}{(c+a)^{3}} + \frac{c^{5}}{(a+b)^{3}} \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}$

 

Bài 4: a, b, c > 0. CMR:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 1: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a(a^{2}+b^{2})-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Tương tự: $\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}\geq b-\frac{c}{2},\frac{c^{3}}{a^{2}+c^{2}}\geq c-\frac{a}{2}$

Vậy $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài 2: a, b, c > 0. ab + bc + ca = 1. CMR:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

 

Bài 4: a, b, c > 0. CMR:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Về cơ bản hai bài này là giống nhau nên mình gộp chung:

Không mất tính tổng quát giả sử $c$ là số nhỏ nhất.

Ta có:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

$\Leftrightarrow M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)\geq 0$

Trong đó:

$M=\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$N=\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{(b+c)(c+a)}$

Dễ chứng minh được:

$N=\frac{c^2}{(b+c)(c+a)(ab+bc+ca)}\geq 0$

$M=\frac{ab(a+b)+bc(b-c)+ca(a-c)}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$

Vậy $M,N\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. ( Nếu điều kiện là $a,b,c$ không âm thì bài toán còn xảy ra đẳng thức tại $a=b$ và $c=0$ nữa)


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
Bài 2: a, b, c > 0. ab + bc + ca = 1. CMR:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

 

Ta sẽ chứng minh

\[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2.\]

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó

\[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca+c^2} = \frac{a^2+b^2+2c^2}{(c+a)(c+b)}.\]

Ta cần chỉ ra

\[\frac{a^2+b^2+2c^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2,\]

quy đồng và rút gọn thành

\[(a-b)^2(a+b-2c) \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 25-07-2016 - 20:42

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Bài 1.

\[\sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\sum a - \sum \dfrac{ab^2}{a^2+b^2} \stackrel{AM-GM}{\geqslant} \sum a -\sum \dfrac{ab^2}{2ab} =\sum a -\sum \dfrac{a}{2} =\dfrac{1}{2} \sum a\]

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

 

Bài 4 chắc là $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+ \dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2$. Nếu vậy bài 2 sẽ là bài 4 với $ab+bc+ca=1$.

Bài 4.

\begin{align*} &\iff \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2 \\ &\iff \left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\right)+\left[\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-1\right] \geqslant 0 \\ &\iff \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}-\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 0 \end{align*}

 

Ta có:

\begin{align*} \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}&=\dfrac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca} \\ &=\dfrac{1}{ab+bc+ca}(a-b)^2 + \dfrac{1}{ab+bc+ca}(a-c)(b-c) \end{align*}

\begin{align*} \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}&=\dfrac{2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \\ &=\dfrac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}(a-b)^2 + \dfrac{1}{(b+c)(c+a)}(a-c)(b-c)\end{align*}

 

Khi đó ta cần chứng minh

\[\left[\dfrac{1}{ab+bc+ca} - \dfrac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right]\left(a-b\right)^2+\left[\dfrac{1}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{(b+c)(c+a)}\right]\left(a-c\right)\left(b-c\right)\geqslant 0\]

 

Giả sử $a\geqslant b \geqslant c$, ta có $(a-c)(b-c)\geqslant 0$

 

Chú ý rằng

\begin{align*} \dfrac{1}{ab+bc+ca} - \dfrac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}&=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)-2c(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)} \\ &=\dfrac{(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a+2abc -2abc -2bc^2-2c^2a}{(ab+bc+ca)(a+b))(b+c)(c+a)} \\ & = \dfrac{a^2b+b^2c+ab^2+ca^2-bc^2-c^2a}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)}\\ & = \dfrac{b^2c+ca^2+\left(ab-c^2\right)(a+b)}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)} \\ &\geqslant \dfrac{b^2c+ca^2}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)} >0\end{align*}

 

Mặt khác

 

\begin{align*} \dfrac{1}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{(b+c)(c+a)} &= \dfrac{(b+c)(c+a)-(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(b+c)(c+a)} \\ &= \dfrac{c^2}{(ab+bc+ca)(b+c)(c+a)}\geqslant 0 \end{align*}

 

Từ đó ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Bài 3.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a+b+c=3$, khi đó ta phải chứng minh

\[\sum \left[\dfrac{a^5}{(3-a)^3}-\dfrac{a^2}{8}\right] \geqslant 0\]

 

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x^5}{(3-x)^3}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{9(x-1)}{16}$

 

Có \begin{align*} f(x) &=\dfrac{16x^5-2x^2(3-x)^3-9(x-1)(3-x)^3}{16(3-x)^3} \\ &= \dfrac{18 x^5-9 x^4-36 x^3+270 x^2-486 x+243}{16(3-x)^3} \\ &= \dfrac{9(x-1)^2(x+3)(2x^2-3x+9)}{16(3-x)^3} \end{align*}

 

Chú ý rằng $2x^2-3x+9=2\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{63}{8}>0$ nên $f(x)\geqslant 0 \ \forall x \in \left(0;3\right]$

 

Do đó $f(a)+f(b)+f(c)\geqslant 0$, tức là ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 25-07-2016 - 20:56

$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh