Chủ đề này có 3 trả lời

[phoenix115]

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. Cạnh góc vuông là $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^{\circ}$, các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác tại $E$ và $F$. Xác định vị trí của $E$ và $F$ sao cho diện tích $\Delta MEF$ là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo $a$.

[L Lawliet]

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. Cạnh góc vuông là $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^{\circ}$, các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác tại $E$ và $F$. Xác định vị trí của $E$ và $F$ sao cho diện tích $\Delta MEF$ là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo $a$.

Lời giải.

Ta sẽ chứng minh $S_{MEF}\leq \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Thật vậy, hạ $MH$ vuông góc với $AB$ và trên $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $MD$ vuông góc với $MF$.

Mặt khác vì $MA$ vuông góc với $MB$ nên $\widehat{AMF}=\widehat{BMD}$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $MA=MB$ và $\widehat{MBD}=\widehat{MAF}=45^{\circ}$

Từ các điều trên suy ra hai tam giác $AMF$ và $BMD$ bằng nhau, suy ra $AF=BD$ và $MD=MF$.

Mặt khác $\widehat{EMF}=45^{\circ}$ mà $\widehat{DMF}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=45^{\circ}$

Suy ra hai tam giác $EMF$ và $DME$ bằng nhau nên $DE=DF$.

Ta có $AB=AE+BD+DE=AE+AF+DE>EF+DE=2DE\Leftrightarrow DE<\frac{AB}{2}\Leftrightarrow MH.\frac{DE}{2}<MH.\frac{AB}{4}\Leftrightarrow S_{EMF}=S_{DME}\leq \frac{S_{AMB}}{2}=\frac{S_{ABC}}{4}$

 

$\LaTeX$ diễn đàn bị sao mà mấy nay mình gõ công thức không hiện, bạn chịu khó mở bảng công thức lên xem nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 25-07-2016 - 21:57

[phoenix115]

Lời giải.

Ta sẽ chứng minh $S_{MEF}\leq \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Thật vậy, hạ $MH$ vuông góc với $AB$ và trên $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $MD$ vuông góc với $MF$.

Mặt khác vì $MA$ vuông góc với $MB$ nên $\widehat{AMF}=\widehat{BMD}$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $MA=MB$ và $\widehat{MBD}=\widehat{MAF}=45^{\circ}$

Từ các điều trên suy ra hai tam giác $AMF$ và $BMD$ bằng nhau, suy ra $AF=BD$ và $MD=MF$.

Mặt khác $\widehat{EMF}=45^{\circ}$ mà $\widehat{DMF}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=45^{\circ}$

Suy ra hai tam giác $EMF$ và $DME$ bằng nhau nên $DE=DF$.

Ta có $AB=AE+BD+DE=AE+AF+DE>EF+DE=2DE\Leftrightarrow DE<\frac{AB}{2}\Leftrightarrow MH.\frac{DE}{2}<MH.\frac{AB}{4}\Leftrightarrow S_{EMF}=S_{DME}\leq \frac{S_{AMB}}{2}=\frac{S_{ABC}}{4}$

 

$\LaTeX$ diễn đàn bị sao mà mấy nay mình gõ công thức không hiện, bạn chịu khó mở bảng công thức lên xem nhé.

Đề yêu cầu xác định vị trí điểm $E$ và $F$ sao cho diện tích tam giác $MEF$ lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo $a$ chứ không phải: "CMR $S_{MEF}\leq\frac{S_{ABC}}{4}$." Bạn chịu khó giải chi tiết giúp mình nhé! (Mình đã giải tới chỗ bạn làm rồi!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phoenix115: 26-07-2016 - 08:27

[L Lawliet]

Đề yêu cầu xác định vị trí điểm $E$ và $F$ sao cho diện tích tam giác $MEF$ lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo $a$ chứ không phải: "CMR $S_{MEF}\leq\frac{S_{ABC}}{4}$." Bạn chịu khó giải chi tiết giúp mình nhé! (Mình đã giải tới chỗ bạn làm rồi!)

Đến đấy thì bạn xác định dấu "=" xảy ra đi, khi $E\equiv H$ và $F$ trên $AC$ thỏa mãn $\widehat{EMF}=45^{\circ}$ ($MF$ vuông góc với $A$) :|