Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $P=\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}} + \sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nagisa shiota

Nagisa shiota

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

1

 a, Cho $P=\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}} + \sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}$

  Cmr: $\sqrt[3]{P^{2}}=\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}$

 b,Cho các số a,b,c,x,y,z thỏa mãn đk

     $ax^{3}=by^{3}=cz^{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Cmr:$\sqrt[3]{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$


                  %%-  Mọi thứ xung quanh cuộc sống của tôi luôn thay đổi hằng ngày %%- 

                                                             .                  ..và, tôi cũng thế %%- 


#2
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
Bài b có thể áp dụng bunhiacopxki. Thử xem

#3
Jinbei

Jinbei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Đặt :

$ax^{3}+by^{3}+cz^{3}=k^{3}\Rightarrow x\sqrt[3]{a}=y\sqrt[3]{b}=z\sqrt[3]{x}=k$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{\sqrt[3]{a}}{k}+\frac{\sqrt[3]{b}}{k}+\frac{\sqrt[3]{c}}{k}=1$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k$     $(1)$

Có : 

$\sqrt[3]{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}=\sqrt[3]{\frac{k^{3}}{x}+\frac{k^{3}}{y}+\frac{k^{3}}{z}}=k.\sqrt[3]{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=k$  $(2)$

 

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.



#4
Jinbei

Jinbei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Đặt : $m=x^{2}; n=y^{2}$.

Bài toán trở thành : Cho $P=\sqrt{m+\sqrt[3]{m^{2}n}}+\sqrt{n+\sqrt[3]{n^{2}m}}$. Chứng minh : $\sqrt[3]{P^{2}}=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$

Có : 

$P^{2}=m+\sqrt[3]{m^{2}n}+n+\sqrt[3]{mn^{2}}+2\sqrt{mn+m\sqrt[3]{m^{2}n}+n\sqrt[3]{n^{2}m}+mn}$

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^{2}}−\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^{2}})+\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})+2\sqrt{2.\sqrt[3]{m^{3}n^{3}}+\sqrt[3]{m^{2}n^{2}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})}}$

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})^{2}+2\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})$  

(do : $\sqrt{\sqrt[3]{m^{2}n^{2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{m^{2}n^{2}}}=\sqrt[3]{mn}$)

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})^{3}\Rightarrow \sqrt[3]{P^{2}}=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbei: 26-07-2016 - 00:27





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh