Chủ đề này có 1 trả lời

[Anh Vinh]

Trong mặ phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và có tâm đường tròn bàng tiếp góc $C$ là $J(7;7)$ . Biết $A(4;1) $ và $B$ thuộc đường thẳng $3x-y+2=0$ . Tìm tọa độ các điểm $C$ và $B$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Vinh: 26-07-2016 - 13:44

[leminhnghiatt]

Trong mặ phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và có tâm đường tròn bàng tiếp góc $C$ là $J(7;7)$ . Biết $A(4;1) $ và $B$ thuộc đường thẳng $3x-y+2=0$ . Tìm tọa độ các điểm $C$ và $B$ .

 

Dễ dàng cm được $\widehat{AJB}=45^o$

 

Tham số hóa điểm $B(a;3a+2)$

 

$\rightarrow JA=3\sqrt{5}; JB=\sqrt{(7-a)^2+(5-3a)^2}; AB=\sqrt{(a-4)^2+(3a+1)^2}$

 

Áp dụng định lí Cô-sin trong $\Delta JAB$ ta được:

 

$AB^2=JA^2+JB^2-2JAJB.\cos 45^o$

 

$\iff (a-4)^2+(3a+1)^2=45+(7-a)^2+(5-3a)^2-3\sqrt{10}.\sqrt{(7-a)^2+(5-3a)^2}$

 

$\iff 34-14a=\sqrt{100a^2-440a+740}$

 

$\iff (3a-13)(a-1)=0$ (ĐK: $a \leq \dfrac{34}{14}$)

 

$\iff a=1 \rightarrow B(1;5)$

 

Giả sử $C(x_o;y_o) \rightarrow \vec BC=(x_o-1;y_o-5)$

 

Viết pt đường thẳng $AC$ là: $x(x_o-1)+y(y_o-5)-4x_o-y_o+9=0$

 

Theo tính chất của đường tròn bàng tiếp: $d(J,AB)=d(J,AC)$

 

Viết pt đt AB, dễ dàng tính đc $d(J;AB)=6$

 

$\rightarrow d(J;AC)=6$

 

$\rightarrow \dfrac{|x_o+2y_o-11|}{\sqrt{(x_o-1)^2+(y_o-5)^2}}=2$

 

$\iff (x_o+2y_o-11)^2=4(x_o-1)^2+4(y_o-5)^2$

 

$\iff x_o=1$    v     $x_o=\dfrac{4y_o-17}{3}$

 

Lại có $\vec AC.\vec BC=0 \rightarrow x_o^2-5x_o+y_o^2-6y_o+9=0 \ (1)$

 

Thay $x_o$ tìm được ở trên vào pt (1) là tìm được tọa độ $C$