Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoan2001]

  cho abc=1, a,b,c>0 C/m: ab+bc+ac+6/(a+b+c)>=5 

Giúp mình với kĩ thuật dồn biến

[VODANH9X]

Ta sẽ chứng minh:$f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca+\frac{6}{a+b+c}-(2a\sqrt{bc}+bc+\frac{6}{a+2\sqrt{bc}}) \geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}(a-\frac{6}{(a+b+c)(a+2\sqrt{bc})}) \geq 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$.Suy ra $a-\frac{6}{(a+b+c)(a+2\sqrt{bc})} > 0$.

Nên $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ đúng

Tiếp theo ta chứng minh $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}) \geq 5$ hay $f(a,\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{a}})\geq 5$

 Đặt $x=\frac{1}{\sqrt{a}}$ biến đổi tương đương bđt ta được $(x-1)^{2}(2x^{4}+4x^{3}-4x^{2}-x+2)\geq 0$ 

Vì vế kia dương,suy ra đpcm.