Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình: $3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1} = \frac{15}{8}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
VMF123

VMF123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Giải phương trình:

$3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1} = \frac{15}{8}$

 

Mình có 2 hướng suy nghĩ cho bài này mà mình nghĩ là có vấn đề:

- Một là: Xét hàm $f(t) = t.\sqrt{t^2+1}$ đồng biến do đó PT có nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{4}$

- Hai là: Biến đổi thành $3x.\sqrt{9x^2 +1} - \frac{15}{16} = -[(1-x).\sqrt{(1-x)^2+1} - \frac{15}{16}]$ rồi xét hàm $f(t) = - f(t)$ 

Mọi người xem giúp mình.



#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

 

Giải phương trình:

$3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1} = \frac{15}{8}$

 

Mình có 2 hướng suy nghĩ cho bài này mà mình nghĩ là có vấn đề:

- Một là: Xét hàm $f(t) = t.\sqrt{t^2+1}$ đồng biến do đó PT có nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{4}$

- Hai là: Biến đổi thành $3x.\sqrt{9x^2 +1} - \frac{15}{16} = -[(1-x).\sqrt{(1-x)^2+1} - \frac{15}{16}]$ rồi xét hàm $f(t) = - f(t)$ 

Mọi người xem giúp mình.

 

Hai hướng đó đều khó đi tiếp.

 

Đặt $g(x)=3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1}$ với $x\in \mathbb{R}$.

Ta sẽ "thử" chứng minh hàm $g$ đồng biến.

Ta có \[g'(x)= \frac{54x^2+3}{\sqrt{9x^2+1}}-\frac{2(x-1)^2+1}{\sqrt{(x-1)^2+1}}.\]

Suy ra 

\[g'(x) >3\frac{9x^2+1}{\sqrt{9x^2+1}}-\frac{2[(x-1)^2+1]}{\sqrt{(x-1)^2+1}}= 3\sqrt{9x^2+1}-2{\sqrt{(x-1)^2+1}}.\]

Do đó 
\[g'(x)>\frac{77x^2 + 8x + 1}{3\sqrt{9x^2+1}+2{\sqrt{(x-1)^2+1}}}>0.\]
Suy ra $g$ đồng biến. Từ đó suy ra $x=\frac{1}{4}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh