Giải phương trình:
$3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1} = \frac{15}{8}$
Mình có 2 hướng suy nghĩ cho bài này mà mình nghĩ là có vấn đề:
- Một là: Xét hàm $f(t) = t.\sqrt{t^2+1}$ đồng biến do đó PT có nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{4}$
- Hai là: Biến đổi thành $3x.\sqrt{9x^2 +1} - \frac{15}{16} = -[(1-x).\sqrt{(1-x)^2+1} - \frac{15}{16}]$ rồi xét hàm $f(t) = - f(t)$
Mọi người xem giúp mình.
Hai hướng đó đều khó đi tiếp.
Đặt $g(x)=3x\sqrt{9x^2 +1} + (1-x)\sqrt{(1-x)^2 +1}$ với $x\in \mathbb{R}$.
Ta sẽ "thử" chứng minh hàm $g$ đồng biến.
Ta có \[g'(x)= \frac{54x^2+3}{\sqrt{9x^2+1}}-\frac{2(x-1)^2+1}{\sqrt{(x-1)^2+1}}.\]
Suy ra
\[g'(x) >3\frac{9x^2+1}{\sqrt{9x^2+1}}-\frac{2[(x-1)^2+1]}{\sqrt{(x-1)^2+1}}= 3\sqrt{9x^2+1}-2{\sqrt{(x-1)^2+1}}.\]
Do đó
\[g'(x)>\frac{77x^2 + 8x + 1}{3\sqrt{9x^2+1}+2{\sqrt{(x-1)^2+1}}}>0.\]
Suy ra $g$ đồng biến. Từ đó suy ra $x=\frac{1}{4}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.