Cho 3 số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c+abc=4$.
Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq\frac{\sum \sqrt{a}}{\sqrt{2}}$
Started By phuocchubeo, 27-07-2016 - 11:06
#1
Posted 27-07-2016 - 11:06
phuocchubeo
-
- Thành viên
-
- 62 posts
Hạ sĩ
Tập tõm bước đi trên con đường toán học. 
#2
Posted 27-07-2016 - 15:02
githenhi512
-
- Thành viên
-
- 290 posts
Thượng sĩ
Bài này hình như k cần đk a+ b+ c+ abc= 4 vẫn cm đc 
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
#3
Posted 27-07-2016 - 18:23
hthang0030
-
- Thành viên
-
- 175 posts
Trung sĩ
Bài này hình như k cần đk a+ b+ c+ abc= 4 vẫn cm đc
Có phải thế này không bạn?Áp dụng bđt Holder ta có:
$VT^2.(2ab+2bc+2ac)\geq (a+b+c)^3$
<=>$VT^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{2ab+2bc+2ac}$
Mặt khác:$VP^2=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$
Do đó ta sẽ chứng minh:$\frac{(a+b+c)^3}{2ab+2bc+2ac}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}$
BĐT này <=>$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$ (Luôn đúng)
Vậy ta có ĐPCM
À tiện thể bạn có học chuyên toán không làm quen luôn :v
Edited by hthang0030, 27-07-2016 - 18:30.
- githenhi512 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
