Tính thể tích một phần của Silo
#1
Đã gửi 27-07-2016 - 12:18
#2
Đã gửi 06-08-2016 - 23:38
* Khối màu xanh
Khối này là hình trụ có đáy là hình viên phân.
Áp dụng Công thức tính Diện tích hình viên phân, với bán kính $R=\frac{C}{2}$, dây cung $F$. Ta có
$$S_{vp}= \frac{C^2}{8}\left ( 2\arcsin\frac{F}{C} - 2.\frac{F}{C}\cos \left( \arcsin\frac{F}{C} \right ) \right)$$
Do đó:
$$V_{xanh} = B\times \frac{C^2}{8}\left ( 2\arcsin\frac{F}{C} - 2.\frac{F}{C}\cos \left( \arcsin\frac{F}{C} \right ) \right)$$
* Khối màu vàng.
Khối vàng, khối xanh và khối trắng(gọi là khối $(\alpha)$) tạo thành khối trụ tròn.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sau đây ta tính thể tích khối $(\alpha)$ cho trường hợp tổng quát.
Khối này là một phần khối trụ có đáy là một phần hình tròn tâm $I$ bán kính $IO=R$ bị giới hạn bởi dây cung vuông góc với bán kính $IO$ tại $B$, $OB=b$. Đường cao $OC=c$. Thiết diện mặt chéo là một phần hình elip.
Mặt phẳng $(Oyz)$ chia $(\alpha)$ thành hai phần bằng nhau. Gọi $(\beta)$ là phần có đáy là $(D)$. Mặt phẳng $(CBG)$ có phương trình $z = c\left ( 1-\frac{y}{b} \right )$.
Khi đó:
$$V_{(\alpha)} = 2V_{(\beta)}= 2 \iint_{D}c\left ( 1-\frac{y}{b} \right )dxdy$$
Miền $D$ được giới hạn bởi $x=\sqrt{R^2-(y-R)^2}, x=0, y=0, y=b$.
Do đó:
$$V_{(\alpha)} = 2c\int_{0}^{b}\left ( \int_{0}^{\sqrt{R^2-(y-R)^2}} dx\right )\left ( 1-\frac{y}{b} \right )dy =\frac{2c}{b}\int_{0}^{b}(b-y)\sqrt{R^2-(y-R)^2}dy$$
Đổi biến: $y=R+R\sin t, t \in \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right ]$, ta có:
$$\begin{align*}V & =\frac{2cR^2}{b}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\arcsin \frac{b-R}{R}}(b-R-R\sin t)\cos^2t dt \\ & = \frac{2c(b-R)R^2}{b}\left ( \arcsin \frac{b-R}{R} + \frac{b-R}{R} \cos \arcsin \frac{b-R}{R} + \frac{\pi}{2} \right ) + \frac{2cR^3}{3}\cos^3 \arcsin \frac{b-R}{R} \end{align*}$$
Đối với bài toán này, $R=\frac{C}{2}, b = E-D, c =B$. Bạn thay số nhé, (biểu thức quá cồng kềnh nên mình hơi lười )
Thể tích khối màu vàng sẽ bằng
$$V_{vàng} = \frac{\pi C.B}{4}- V_{(\alpha)} - V_{xanh}$$
- WhjteShadow và Element hero Neos thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh