Chủ đề này có 1 trả lời

[Liesel]

Tìm x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: $2x = y(x^{2} + 1)$

                                                            $2y = z(y^{2} + 1)$

                                                            $2z = x(z^{2} + 1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 27-07-2016 - 14:37

[An Infinitesimal]

Tìm x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: $2x = y(x^{2} + 1)$

                                                            $2y = z(y^{2} + 1)$

                                                            $2z = x(z^{2} + 1)$

 

Từ hệ phương trình ta suy ra ba số $x, y, z$ đôi một "cùng dấu" (hai số thực $u, v$ được gọi là cùng dấu nếu $uv\ge 0.$)

Vì $\left|\frac{2t}{t^2+1}\right| \le 1$ với mọi số thực $t$ nên $|x|,|y|, |z| \le 1$.

Do đó ta có $|y|\ge |x|, |y|\ge |z|, |z|\ge |x|,$ hay $|x|=|y|=|z|.$

Suy ra $x=y=z$. 

Từ đó suy ra hệ chỉ có các bộ nghiệm sau $(x,y,z)= (-1,-1,-1), (0,0,0),, (1,1,1).$

 

----------------------

Hệ này cũng gợi đến hệ:

$\begin{cases} &\tan{\alpha}=\tan{(2\beta)},\\&\tan{\beta}=\tan{(2\gamma)},\\& \tan{\gamma}=\tan{(2\alpha)}. \end{cases}$