Chủ đề này có 3 trả lời

[badboykmhd123456]

Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh :

$$\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+x)(y+z)}{4y}+\frac{(x+z)(z+y)}{4z}\geq x+y+z$$

[Mikan Yukihita]

cái này mk nghĩ là quy đồng vế trái r rút gọn

[Ngockhanh99k48]

Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh :

$$\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+x)(y+z)}{4y}+\frac{(x+z)(z+y)}{4z}\geq x+y+z$$

$\Leftrightarrow$ $\frac{x(x+y+z)+yz}{x}+\frac{y(x+y+z)+xz}{y}+\frac{z(x+y+z)+xy}{z} \geq 4(x+y+z)$ $\Leftrightarrow$ $\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z} \geq x+y+z$. Sử dụng AM-GM ta có: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x} \geq 2y$. Tương tự ta có đpcm. 

[VODANH9X]

Bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}+xy+yz+zx}{4x}\geq x+y+z$

      $\frac{x+y+z}{4}+\frac{xy+yz+zx}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq x+y+z$

      $\Leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x})\geq \frac{3}{4}(x+y+z)$

      $\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)$   luôn đúng.

Suy ra đpcm.