Cho ba số không âm x,y,z. Chứng minh rằng:
$ \frac{(y+z-x)^{2}}{(y+z)^{2}+x^{2}}+\frac{(z+x-y)^{2}}{(z+x)^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y-z)^{2}}{(x+y)^{2}+z^{2}} \geq \frac{3}{5} $
Cho ba số không âm x,y,z. Chứng minh rằng:
$ \frac{(y+z-x)^{2}}{(y+z)^{2}+x^{2}}+\frac{(z+x-y)^{2}}{(z+x)^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y-z)^{2}}{(x+y)^{2}+z^{2}} \geq \frac{3}{5} $
Chuẩn hóa $x+y+z=1$
VT=$\sum \frac{(1-2x)^{2}}{(1-x)^{2}+x^{2}}=\sum \frac{4x^{2}-4x+1}{2x^{2}-2x+1}=6-\sum \frac{1}{2x^2-2x+1}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2x^{2}-2x+1}\leq \frac{54}{25}x+\frac{27}{25}$
$\Leftrightarrow 2(6x+1)(3x-1)^{2} \geq 0$ luôn đúng vì x,y,z không âm.
$\Rightarrow VT \geq 6-(\frac{54}{25}(x+y+z)+\frac{81}{25})=\frac{3}{5}$
Dấu '' = '' xảy ra khi x=y=z.
Chuẩn hóa $x+y+z=1$
VT=$\sum \frac{(1-2x)^{2}}{(1-x)^{2}+x^{2}}=\sum \frac{4x^{2}-4x+1}{2x^{2}-2x+1}=6-\sum \frac{1}{2x^2-2x+1}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2x^{2}-2x+1}\leq \frac{54}{25}x+\frac{27}{25}$
$\Leftrightarrow 2(6x+1)(3x-1)^{2} \geq 0$ luôn đúng vì x,y,z không âm.
$\Rightarrow VT \geq 6-(\frac{54}{25}(x+y+z)+\frac{81}{25})=\frac{3}{5}$
Dấu '' = '' xảy ra khi x=y=z.
Một cách khác:
Bất đẳng thức quy về chứng minh $\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2 + a^2} \leq \frac{6}{5}$
Mà $\frac{a(b+c)}{(b+c)^2 + a^2} \leq \frac{a(b+c)}{\frac{3(b+c)^2}{4}+a(b+c)}$
$= 1 - \frac{3(b+c)^2}{3(b+c)^2+4a(b+c)} $
Ta cần chứng minh
$\sum \frac{(b+c)^2}{3(b+c)^2+4a(b+c)} \geq \frac{3}{5}$
Mà $VT \geq \frac{4(a+b+c)^2}{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(a+c)^2+4a(b+c)+4b(c+a)+4c(a+b)}$
Ta đi chứng minh $\frac{4(a+b+c)^2}{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(a+c)^2+4a(b+c)+4b(c+a)+4c(a+b)} \geq \frac{3}{5}$
$<=> a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac => (Q.E.D)$
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh