Chủ đề này có 9 trả lời

[VMF123]

Giải phương trình:

 

Bài 1: $x^2 + \sqrt{1-x^2} - 3\sqrt{-x^2+2x+2} + 2 = 0$

 

Bài 2: $2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}).(1+\sqrt{x^2-1}) = x\sqrt{x}$

 

Bài 3: $\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \sqrt{x-\frac{1}{x}} = x$

[L Lawliet]

Bài 3: $\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \sqrt{x-\frac{1}{x}} = x$

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq 1$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{\left ( x-\frac{1}{x} \right ).1}+\sqrt{\left ( x-1 \right ).\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{2}\left ( x-\frac{1}{x}+1+x-1+\frac{1}{x} \right )=x$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=1 &  & \\ x-1=\frac{1}{x} &  & \end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

[linhphammai]

 

Bài 3: $\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \sqrt{x-\frac{1}{x}} = x$

 

 

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq 1$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{\left ( x-\frac{1}{x} \right ).1}+\sqrt{\left ( x-1 \right ).\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{2}\left ( x-\frac{1}{x}+1+x-1+\frac{1}{x} \right )=x$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=1 &  & \\ x-1=\frac{1}{x} &  & \end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Bài này còn có cách khác nữa là quy đồng lên rồi đưa về 1 bình phương

Pt => $\sqrt{x^{2} - 1} = x\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}$

=> $x^{2} - 1 = x^{3} + x - 1 -2x\sqrt{x(x - 1)}$

=> $x = x^{2} + 1 - 2\sqrt{x(x - 1)}$

=> $(\sqrt{x(x - 1)} - 1)^{2} = 0$

=>....

[L Lawliet]

Bài này còn có cách khác nữa là quy đồng lên rồi đưa về 1 bình phương

Pt => $\sqrt{x^{2} - 1} = x\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}$

=> $x^{2} - 1 = x^{3} + x - 1 -2x\sqrt{x(x - 1)}$

=> $x = x^{2} + 1 - 2\sqrt{x(x - 1)}$

=> $(\sqrt{x(x - 1)} - 1)^{2} = 0$

=>....

Mình nhớ có một cách hồi lâu đi học thầy dạy hình như là đặt ẩn phụ sao nữa í ra phương trình đẹp lắm mà quên mất nghĩ mãi không ra : ((

[linhphammai]

Mình nhớ có một cách hồi lâu đi học thầy dạy hình như là đặt ẩn phụ sao nữa í ra phương trình đẹp lắm mà quên mất nghĩ mãi không ra : ((

Chia xuống 2 vế cho $\sqrt{x}$ rồi đặt hay sao ấy...nhưng hình như pt đằng sau không được đẹp

Mình thấy đứa bạn làm theo cách này rồi...khá phức tạp...mình không nhớ nổi...

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Chia xuống 2 vế cho $\sqrt{x}$ rồi đặt hay sao ấy...nhưng hình như pt đằng sau không được đẹp

Mình thấy đứa bạn làm theo cách này rồi...khá phức tạp...mình không nhớ nổi...

Xét $x=0$ ko là nghiệm, chia 2 vế cho $x$

Đặt $a=\frac{1}{x},$ được:

$\sqrt{a-a^3}+\sqrt{a^2-a^3}=1$

$<=>\sqrt{a-a^3}=1-\sqrt{a^2-a^3}$

Bình phương:

$<=>2\sqrt{a^2-a^3}=a^2-a+1$

$<=>(a^2+a-1)^2=0$

$<=>...............$

Hình như cuối cùng biến đổi được $x=\frac{1}{a},$

ko chắc lắm

[linhphammai]

Xét $x=0$ ko là nghiệm, chia 2 vế cho $x$

Đặt $a=\frac{1}{x},$ được:

$\sqrt{a-a^3}+\sqrt{a^2-a^3}=1$

$<=>\sqrt{a-a^3}=1-\sqrt{a^2-a^3}$

Bình phương:

$<=>2\sqrt{a^2-a^3}=a^2-a+1$

$<=>(a^2+a-1)^2=0$

$<=>...............$

Hình như cuối cùng biến đổi được $x=\frac{1}{a},$

ko chắc lắm

Ế...Khác gì cách của t đâu c...Dễ nhìn hơn 1 chút ha...

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Ế...Khác gì cách của t đâu c...Dễ nhìn hơn 1 chút ha...

v ak @@

[VMF123]

Còn 2 câu kia giải thế nào các bạn?

[An Infinitesimal]

Giải phương trình:

 

Bài 1: $x^2 + \sqrt{1-x^2} - 3\sqrt{-x^2+2x+2} + 2 = 0$

 

Bài 2: $2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}).(1+\sqrt{x^2-1}) = x\sqrt{x}$

 

 

 

Đừng quên hai chị em 1+2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 04-09-2016 - 22:33