Đến nội dung

Hình ảnh

Tính nguyên hàm: $\int{\dfrac{\sqrt[3]{x}dx}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Tính nguyên hàm sau:

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{x}dx}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}}$$

 



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Tính nguyên hàm sau:

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{x}dx}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}}$$

Đặt $t=\sqrt[12]{x}\implies x=t^{12}\implies dx=12t^{11}dt$

$\implies I=\int \frac{t^4*12t^{11}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{15}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{12}dt}{t^5-1}$.

$=\int 12[t^7+t^2+\frac{t^2}{t^5-1}]dt$

Đến đây chỉ cần tính: $\int \frac{t^2}{t^5-1}=\int \frac{t^2}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}$.

Đến đây dùng hệ số bất định là xong


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-07-2016 - 11:42


#3
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đặt $t=\sqrt[12]{x}\implies x=t^{12}\implies dx=12t^{11}dt$

$\implies I=\int \frac{t^4*12t^{11}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{15}dt}{t^8-t^3}=\frac{12t^{12}dt}{t^5-1}$.

Đến đây dễ rồi, bạn tự làm tiếp nhé.

Mình đang cần đoạn sau.



#4
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đặt $t=\sqrt[12]{x}\implies x=t^{12}\implies dx=12t^{11}dt$

$\implies I=\int \frac{t^4*12t^{11}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{15}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{12}dt}{t^5-1}$.

$=\int 12[t^7+t^2+\frac{t^2}{t^5-1}]dt$

Đến đây chỉ cần tính: $\int \frac{t^2}{t^5-1}=\int \frac{t^2}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}$.

Đến đây dùng hệ số bất định là xong

Làm nốt đi khúc sau đi bạn. Mình bí đoạn xử lí hậu hệ số bất định ấy



#5
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
Where are you now,tritanngo99?

#6
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Where are you now,tritanngo99?

I'm here and this is solution for problem of you:http://artofproblems...t_12fract2t51dt



#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Làm nốt đi khúc sau đi bạn. Mình bí đoạn xử lí hậu hệ số bất định ấy

$\frac{t^2}{t^5-1}=\frac{4t^2}{4(t^5-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{Dt+E}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

(trong đó $A,B,C,D,E$ là các hằng số)

Quy đồng và bỏ mẫu số :

$4t^2=4A(t^4+t^3+t^2+t+1)+(Bt+C)[2t^3-(\sqrt{5}+1)t^2+(\sqrt{5}+1)t-2]+(Dt+E)[2t^3+(\sqrt{5}-1)t^2-(\sqrt{5}-1)t-2]$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}20A=4\\4A+2B+2D=0\\4A+2C-(\sqrt{5}+1)B+(\sqrt{5}-1)D+2E=0\\4A+(\sqrt{5}+1)B-(\sqrt{5}+1)C-(\sqrt{5}-1)D+(\sqrt{5}-1)E=4\\4A-2C-2E=0 \end{matrix}\right.$

(Cho $t=1$ được phương trình đầu ; cân bằng hệ số được 4 phương trình sau)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{1}{5}\\B=\frac{\sqrt{5}-1}{5}\\C=\frac{1-\sqrt{5}}{5}\\D=\frac{-1-\sqrt{5}}{5}\\E=\frac{\sqrt{5}+1}{5} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^2}{t^5-1}=\frac{\frac{1}{5}}{t-1}+\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{5}t-\frac{\sqrt{5}-1}{5}}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{\frac{-\sqrt{5}-1}{5}t+\frac{\sqrt{5}+1}{5}}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

$\int \frac{\frac{1}{5}\ dt}{t-1}=\frac{1}{5}\ln\left | t-1 \right |+C$

Còn nguyên hàm 2 cái sau thì đã có phương pháp ở đây :

http://diendantoanho...fracdxx2-7x-11/

 

----------------------------------------------------------------------

@ lovemath99 :

Bài này bắt buộc phải đặt $t=\sqrt[12]{x}$ (gọi là phương pháp "hữu tỷ hóa").

Trong bài này, sau khi "hữu tỷ hóa", phân thức cần tính nguyên hàm sau khi rút gọn có dạng $\frac{P(t)}{Q(t)}$ trong đó việc phân tích $Q(t)$ thành nhân tử khá khó khăn (do bậc 5 mà chỉ có 1 nghiệm thực).Bài kiểu này chỉ thích hợp cho các ... diễn đàn.Còn trong các kỳ thi, nếu có dạng này thì người ta sẽ "tính toán" sao cho việc phân tích $Q(t)$ thành nhân tử "đơn giản" hơn cho phù hợp với thời gian làm bài nên bạn cứ yên tâm  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 31-07-2016 - 07:20

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

$\frac{t^2}{t^5-1}=\frac{4t^2}{4(t^5-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{Dt+E}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

(trong đó $A,B,C,D,E$ là các hằng số)

Quy đồng và bỏ mẫu số :

$4t^2=4A(t^4+t^3+t^2+t+1)+(Bt+C)[2t^3-(\sqrt{5}+1)t^2+(\sqrt{5}+1)t-2]+(Dt+E)[2t^3+(\sqrt{5}-1)t^2-(\sqrt{5}-1)t-2]$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}20A=4\\4A+2B+2D=0\\4A+2C-(\sqrt{5}+1)B+(\sqrt{5}-1)D+2E=0\\4A+(\sqrt{5}+1)B-(\sqrt{5}+1)C-(\sqrt{5}-1)D+(\sqrt{5}-1)E=4\\4A-2C-2E=0 \end{matrix}\right.$

(Cho $t=1$ được phương trình đầu ; cân bằng hệ số được 4 phương trình sau)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{1}{5}\\B=\frac{\sqrt{5}-1}{5}\\C=\frac{1-\sqrt{5}}{5}\\D=\frac{-1-\sqrt{5}}{5}\\E=\frac{\sqrt{5}+1}{5} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^2}{t^5-1}=\frac{\frac{1}{5}}{t-1}+\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{5}t-\frac{\sqrt{5}-1}{5}}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{\frac{-\sqrt{5}-1}{5}t+\frac{\sqrt{5}+1}{5}}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

$\int \frac{\frac{1}{5}\ dt}{t-1}=\frac{1}{5}\ln\left | t-1 \right |+C$

Còn nguyên hàm 2 cái sau thì đã có phương pháp ở đây :

http://diendantoanho...fracdxx2-7x-11/

Anh có thể xử lí bài này từ đầu theo hướng khác không để em tham khảo? Chứ e nghĩ nếu theo hướng đặt $t=\sqrt[12]{x}$ từ đầu giải quyết hơi lâu, kt 1 tiết hay thi đại học sợ time không đủ, cảm ơn.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh