Chủ đề này có 2 trả lời

[Lin Kon]

1.Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

2. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $bc=1+a(b+c)$.Tìm GTLN của:

$P=\frac{6a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{4}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{3}{\sqrt{1+c^2}}$

 

[yeutoan2001]

BÀi 1 chuẩn hóa a+b+c=3 và UCT

[81NMT23]

1.Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

2. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $bc=1+a(b+c)$.Tìm GTLN của:

$P=\frac{6a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{4}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{3}{\sqrt{1+c^2}}$

1. Giải:

Ta có:$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}$

Lại có bổ đề sau theo bđt Cauchy:$\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)}\leqslant1+\frac{x^{2}}{2}$

Áp dụng ta được:$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geqslant \frac{1}{1+\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}}}\geqslant =\frac{1}{\frac{2a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}{2a^{2}}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Tương tự ta sẽ được: $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geqslant \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c