Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Cho a,b,c dương thoả mãn $\sum ab=1$

Chứng minh

$\sum\frac{1}{c\sqrt{a^2+b^2}}\geq\frac{9}{2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc}$

 

 

Gợi ý

Dùng đổi biến và AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 28-07-2016 - 19:34

[tritanngo99]

Cho a,b,c dương thoả mãn $\sum ab=1$

Chứng minh

$\sum\frac{1}{c\sqrt{a^2+b^2}}\geq\frac{9}{2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc}$

Mình chém câu này như sau:

BDT cần chứng minh tương đương: $(\sum \frac{1}{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}})^2\ge \frac{81}{(2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc)^2}$.

Thật vậy: Áp dụng BDT $Holder$ ta có:

$(\sum \frac{1}{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}})(\sum \frac{1}{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}})(\sum (a^2c^2+b^2c^2))\ge (1+1+1)^3=27$

$\implies (\sum \frac{1}{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}})^2\ge \frac{27}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$.

Đến đây ta cần CM: $\frac{27}{2(\sum a^2b^2)}\ge \frac{81}{(2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc)^2}(1)$.

Đặt $(p,q,r)\rightarrow (a+b+c;ab+bc+ca;abc);q=1$.

Khi đó: $(1)\iff \frac{1}{2(1-2pr)}\ge \frac{3}{(2\sqrt{2}-3\sqrt{6}r)^2}$

$\iff 12pr+54r^2-24\sqrt{3}r+2\ge 0(2)$.

Mặt khác dễ dàng chứng minh được: $p\ge \sqrt{3}$.

Ta có: $12pr+54r^2-24\sqrt{3}r+2\ge 54r^2-12\sqrt{3}r+2\ge 0\iff (r-\frac{\sqrt{3}}{9})^2\ge 0(TRUE)$.

Vậy chứng minh hoàn tất.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$