Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho:  $m^2+7p^2=2^n$

                                                          

[superpower]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho:  $m^2+7p^2=2^n$

TH1: $n$ chẵn thì đặt $n=2k $

Sau đó đưa về $2^{2n} - m^2 = 7p^2 $ rồi trâu bò xét trường hợp

TH2: $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1$

Xét $p \geq 3$

$m^2 + 7p^2 = 2.4^{k} $

Dễ thấy $m,p$ cùng tính chẵn lẽ, khi đó $m,p$ cùng lẻ 

Đặt $m=2a+1 , p =2b+1 $

Khi đó, ta được $4a^2+4a+1 + 4b^2+4b+1 = 2.4^k $

                          $4a(a+1) +4b(b+1) +2 = 2.4^k $

Nếu $k \geq 1$ thì $VP \vdots 4 $, còn VT thì không 

Do đó suy ra vô lí

Do đó $k=0 => 2a(a+1) + 2b(b+1)=0 $ cũng vô lí

Do đó $p=2 $

Khi $p=2$, ta được $m^2+28=2^n, n \geq 5 $

Tới đây xét tính

Phần cuối làm hơi dài nên không tiện ghi

[Minhnguyenthe333]

TH1: $n$ chẵn thì đặt $n=2k $
Sau đó đưa về $2^{2n} - m^2 = 7p^2 $ rồi trâu bò xét trường hợp
TH2: $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1$
Xét $p \geq 3$
$m^2 + 7p^2 = 2.4^{k} $
Dễ thấy $m,p$ cùng tính chẵn lẽ, khi đó $m,p$ cùng lẻ 
Đặt $m=2a+1 , p =2b+1 $
Khi đó, ta được $4a^2+4a+1 + 4b^2+4b+1 = 2.4^k $
                          $4a(a+1) +4b(b+1) +2 = 2.4^k $
Nếu $k \geq 1$ thì $VP \vdots 4 $, còn VT thì không 
Do đó suy ra vô lí
Do đó $k=0 => 2a(a+1) + 2b(b+1)=0 $ cũng vô lí
Do đó $p=2 $
Khi $p=2$, ta được $m^2+28=2^n, n \geq 5 $
Tới đây xét tính
Phần cuối làm hơi dài nên không tiện ghi

Cái chính là bạn giải kĩ đoạn xét từng trường hợp, đó mới là phần khó của bài toán...
Bài này hình như là có $7$ bộ nghiệm

[I Love MC]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho:  $m^3+7p^2=2^n$

Bằng mod $7$ cho ta $n \vdots 3$ nên đặt $n=3k$ 
Ta viết lại phương trình $(2^k-m)(m^2+2^k.m+2^{2k})=7p^2$ 
Chú ý rằng $m$ lẻ ,gọi $gcd(2^k-m,m^2+2^k.m+2^{2k})=d$ suy ra $3m \vdots d$ bằng cách xét từng trường hợp cho ta $d=1$
Trường hợp 1 : $2^k-m=7,m^2+2^k.m+2^{2k}=p^2 \Rightarrow m=2^k-7$ 
Thế vào phương trình cho ta $-7(3.2^{2k}-21.2^k+49)=7p^2 \Rightarrow 21.2^k-3.4^k-49=p^2$ bằng cách đánh giá $VT<0$ cho ta phương trình này vô nghiệm
Trường hợp 2 : $2^k-m=p,m^2+2^k.m+2^{2k}=7p$ 
Suy ra $(2^k-m)^2+3.2^k.m=7p \Rightarrow 7p-p^2=3.2^k.m \ge 0 \Rightarrow p \in \{2,3,5\}$ thử lần lượt giá trị cho ta $p=3,m=1,k=2$ 
Hay $(m,n,p)=(1,6,3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 05-08-2016 - 21:12