Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoanhoc020]

CMR không có đa thức P(x) nào có hệ số nguyên mà P(7)=5 và P(15)=9

---Ai giúp em với ạ---

[Hai2003]

Mình chứng minh bằng phản chứng: giả sử có đa thức $P(x)$ thỏa mãn đề bài là $P(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 \ (a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1 \in\mathbb{Z})$ Khi đó thì

$\left\{\begin{array}{ll} P(7)=7^na_n+7^{n-1}a_{n-1}+...+7^2a_2+7a_1+a_0=5 & \color{red}{(1)}\\ P(15)=15^na_n+15^{n-1}a_{n-1}+...+15^2a_2+15a_1+a_0=9 & \color{red}{(2)} \end{array}\right.$

 

Lấy $\color{red}{(2)}-\color{red}{(1)}$ ta được $(15^n-7^n)a_n+(15^{n-1}-7^{n-1})a_{n-1}+...+(15^2-7^2)a_2+8a_1=4$

Lưu ý là $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$ với mọi số nguyên dương $n.$

 

Suy ra: $(15^n-7^n)a_n+(15^{n-1}-7^{n-1})a_{n-1}+...+(15^2-7^2)a_2+8a_1\\ =8(...)a_n+8(...)a_{n-1}+...+8(...)a_2+8a_1 \ \vdots \ 8$

Nhưng mặt khác $(15^n-7^n)a_n+(15^{n-1}-7^{n-1})a_{n-1}+...+(15^2-7^2)a_2+8a_1=4$ không chia hết cho 8 (mâu thuẫn)

 

Vậy thì điều giả sử ban đầu là sai, hay nói cách khác, không có đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho $P(7)=5$ và $P(15)=9$