Chứng minh rằng tồn tại 2 số x, y nguyên không chia hết cho 2006 và thỏa mãn
$x^2+ 8023y^2 = 4.2006^n$ ( với n thuộc $\mathbb{N}$*)
$x^2+ 8023y^2 = 4.2006^n$
Bắt đầu bởi Thao Meo, 28-07-2016 - 22:16
#1
Đã gửi 28-07-2016 - 22:16
Thao Meo
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
#2
Đã gửi 28-07-2016 - 23:09
I Love MC
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1861 Bài viết
Đại úy
Đặt $a=2006$ suy ra $4a-1=8023$
PT $\Leftrightarrow x^2+(4a-1)y^2=4.a^n$
Với $n=1$ thì $x=y=1$ thỏa
Giả sử với $n$ thì tồn tại $x_n,y_n$ thỏa điều kiện bài toán .
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n+1$
Ta có $4.a^{n+1}=a.(x_n^2+(4a-1)y_n^2)=(\frac{x_n+(4a-1)y_n}{2})^2+(4a-1).(\frac{x_n-y_n}{2})^2=(\frac{x_n+-(4a-1)y_n}{2})^2+(4a-1).(\frac{x_n+y_n}{2})^2$
Đặt $X_1=\frac{x_n+(4a-1)y_n}{2},Y_1=\frac{x_n-y_n}{2},X_2=\frac{x_n-(4a-1)y_n}{2},Y_2=\frac{x_n+y_n}{2}$
Nếu $a \not | Y_1 $ mà $a|X_1-Y_1 \Rightarrow$ $X_1$ và $Y_1$ là hai số cần tìm
Tương tự với $a \not Y_2$ ta thu đc điều phải chứng minh.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
