Đến nội dung

Hình ảnh

Trường hè Toán học Miền Nam.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Tran Quoc Khang

Tran Quoc Khang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Nguồn: Fanpage Gặp gỡ Toán học.

 

Hình gửi kèm

  • 13872797_1072030909544752_3852070265558568985_n.jpg
  • 13886449_1072030912878085_7409441468962850767_n.jpg


#2
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Ta viết lại đề như sau: Tìm số tự nhiên $N_0$ lớn nhất không thể biểu diễn được dưới dạng $6x+10y+15z$ trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên. Hay nói cách khác mọi số tự nhiên lớn hơn $N_0$ đều biểu diễn được dưới dạng $6x+15y+10z$ với $x,y,z$ là các số tự nhiên.

Để giải bài toán này, ta sử dụng bổ đề sau:

Định lí Sylvester: Cho $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó $N_0=ab-a-b$ là số nguyên dương lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng $ax+by$ với $x,y$ là các số tự nhiên.

Bằng định lí này ta sẽ chứng minh kết quả khác: Cho $a,b,c$ là ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi số $N_0=2abc-ab-bc-ca$ là số nguyên dương lớn nhất không thể biểu diễn được dưới dạng $abx+bcy+caz$ với $x,y,z$ là các số tự nhiên.

(1) Ta sẽ chứng minh $2abc-ab-bc-ca$ không biểu diễn được dưới dạng $abx+bcy+caz$. Thật vậy nếu tồn tại $x,y,z$ tự nhiên để:

$2abc-ab-bc-ca=abx+bcy+caz$

$\Leftrightarrow 2abc=ab(x+1)+bc(y+1)+ca(z+1)\Rightarrow b\mid ca(z+1)\Rightarrow b\mid z+1\Rightarrow z+1\geq b$

Tương tự ta được $x+1\geq c$ và $y+1\geq a$ và ta suy ra $ab(x+1)+bc(y+1)+ca(z+1)\geq 3abc>2abc$ vô lí.

(2) Ta sẽ chứng minh tồn tại $x,y,z$ để $m+2abc-ab-bc-ca+1=abx+bcy+caz$ với $m\geq 0$. Biến đổi đẳng thức tương đương với:

$b(ax+cy-ac+a+c-1)+acz=m+abc-ac-b+1\geq abc-ac-b+1$

Theo định lí Sylvester thì tồn tại $u,z$ tự nhiên để $bu+acz=m+abc-ac-b+1$. Hơn nữa do $u\geq 0$ nên cũng tồn tại $x,y$ tự nhiên để $ax+cy=u+ac-a-c+1$. Và từ đó dễ dàng suy ra tồn tại $x,y,z$ tự nhiên thỏa mãn. Vậy kết quả được chứng minh.

Với $a=2,b=3,c=5$ thì ta được $N_0=29$. Vậy $29$ là số lớn nhất thỏa mãn đề bài.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#3
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

5/

Từ điều kiện đề bài, ta thấy số cách chọn tối đa tuân theo quy luật dãy số Fibonacci:$\left\{\begin{matrix}F_1=1;F_2=2\\F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{matrix}\right.$

$\implies$ Với $10$ người thì có tối đa $89$ cách sắp xếp theo chuẩn thứ tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 11-09-2016 - 20:56





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh