Bài 1:
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$
Bài 1:
Ta tìm cách đánh giá đại lượng $\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}$ về dạng hàm số đối với ẩn $ab+bc+ca$
Ta có:
$\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{4}+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}\\=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2} \right )\left ( xyz+x^{2}y+zx^{2} \right )}} \\\geq \frac{2\left ( x^{4} +x \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2}+xyz+x^{2}y+x^{2}z \right )}\\=\frac{2x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{2}+yz \right )\left ( x+y+z \right )}\\=\frac{2x}{x+y+z}\sqrt{xy+yz+zx}$
Vậy:
$P=\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}\geq 2\sqrt{xy+yz+zx}-8+\frac{8}{xy+yz+zx+1}$
Đặt $\sqrt{xy+yz+zx}=t$, khi đó:
$P \geq f(t)=2t+\frac{8}{t^{2}+1}-8$
Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ \sqrt{3};+\infty \right )$ ta được $\min P=-6+2\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-07-2016 - 23:17