Chủ đề này có 6 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $

[superpower]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $

Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc $

Do đó ta cần chứng minh 

$q \geq 8(p^2-2q) .(q^2-2pr) $

$q \geq 8(1-2q)(q^2-2r) <=> r \geq \frac{q^2}{2} - \frac{q}{16(1-2q)} $

Tới đây dùng Schur bậc 3 là ra 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $

 

Vì

\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]

nên

\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]

Vậy ta chỉ cần chứng minh

\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]

bất đẳng thức này hiển nhiên vì

\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 29-07-2016 - 21:38

[nilll gate]

Vì

\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]

nên

\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]

Vậy ta chỉ cần chứng minh

\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]

bất đẳng thức này hiển nhiên vì

\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]

Bài toán được chứng minh.

E không hiểu chỗ này ah ơi

[Nguyenhuyen_AG]

E không hiểu chỗ này ah ơi

 

\[1 = [(a+b+c)^2]^2.\]

[nilll gate]

Vì

\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]

nên

\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]

Vậy ta chỉ cần chứng minh

\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]

bất đẳng thức này hiển nhiên vì

\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]

Bài toán được chứng minh.

Không phải ! Cái bước 1-> 2 ý ! Tại sao lại được như thế ạ

[nguyenhongsonk612]

Không phải ! Cái bước 1-> 2 ý ! Tại sao lại được như thế ạ

Nhân cả $2$ vế với $ab+bc+ca$