Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $
Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc $
Do đó ta cần chứng minh
$q \geq 8(p^2-2q) .(q^2-2pr) $
$q \geq 8(1-2q)(q^2-2r) <=> r \geq \frac{q^2}{2} - \frac{q}{16(1-2q)} $
Tới đây dùng Schur bậc 3 là ra
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} \geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $
Vì
\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]
nên
\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]
bất đẳng thức này hiển nhiên vì
\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]
Bài toán được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 29-07-2016 - 21:38
Vì
\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]
nên
\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]
bất đẳng thức này hiển nhiên vì
\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]
Bài toán được chứng minh.
E không hiểu chỗ này ah ơi
E không hiểu chỗ này ah ơi
\[1 = [(a+b+c)^2]^2.\]
Vì
\[1 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]
nên
\[ab+bc+ca \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.\]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2,\]
bất đẳng thức này hiển nhiên vì
\[(ab+bc+ca)^2 -(a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2) = 2abc(a+b+c) \geqslant 0.\]
Bài toán được chứng minh.
Không phải ! Cái bước 1-> 2 ý ! Tại sao lại được như thế ạ
Không phải ! Cái bước 1-> 2 ý ! Tại sao lại được như thế ạ
Nhân cả $2$ vế với $ab+bc+ca$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 thành phố Đà Nẵng năm học 2022 - 2023Bắt đầu bởi vancongnam, 10-02-2023 học sinh giỏi, đà nẵng và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 Thành phố Đà Nẵng 2021-2022Bắt đầu bởi narutosasukevjppro, 24-02-2022 đề thi, lớp 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $Bắt đầu bởi supernatural1, 22-07-2019 lớp 9, thi vào chuyên và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Giải phương trình $x\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{x-1}=x+1$Bắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 20-04-2019 giải phương trình, lớp 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 18-11-2018 phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh