Chủ đề này có 7 trả lời

[misakichan]

Cho x, y, z>0 :

CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 29-07-2016 - 16:38

[iloveyouproht]

Cho x, y, z>0 :

CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

 

Áp dụng bđt holder ta có : $(\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{3}} )9\geq (\sum \frac{x}{x+y})^{3} => VT\geq \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} Ta cần cm : \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} \geq \frac{3}{8} <=> \sum \frac{x}{x+y} \geq \frac{3}{2} Đến đây b tự làm nha$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 29-07-2016 - 20:58

[tpdtthltvp]

Cho x, y, z>0 :

CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Lời giải:

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^3}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^3}+\frac{1}{(1+\frac{x}{z})^3}\geq \frac{3}{8}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (1)$$

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ thì $abc=1$ và $(1)$ viết lại thành:

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8}$$

Ta sẽ chứng minh:

$$\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$$

$$\Leftrightarrow 8a^3+8\sqrt{a^3}+8\geq 3a^3+9a^2+9a+3$$

$$\Leftrightarrow 5a^3+8\sqrt{a^3}+5\geq 9a^2+9a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (2)$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng theo $\textrm{AM-GM}:$

• $$3a^3+6\sqrt{a^3}=3(a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3})\geq 3.3a^2=9a^2$$
• $$2a^3+2\sqrt{a^3}+5=a^3+a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3}+1+1+1+1+1\geq 9a$$

Cộng $(2)$ vế BĐT trên lại ta được $(2)$ đúng.

Chứng minh tương tự với $b,c$ suy ra:

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}+\frac{3}{8(b^3+\sqrt{b^3}+1)}+\frac{3}{8(c^3+\sqrt{c^3}+1)}$$

Cần chứng minh:

$$\frac{1}{a^3+\sqrt{a^3}+1}+\frac{1}{b^3+\sqrt{b^3}+1}+\frac{1}{c^3+\sqrt{c^3}+1}\geq 1$$

Nếu đặt $\sqrt{a^3}=m; \sqrt{b^3}=n; \sqrt{c^3}=p$ thì BĐT này trở nên quen thuộc:

$$\frac{1}{m^2+m+1}+\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{p^2+p+1}\geq 1.$$

Chứng minh

 Đặt $m=\frac{qr}{p^2}; n=\frac{pr}{q^2};p=\frac{pq}{r^2}$ thay vào rồi áp dụng $Schwarz$

Vậy ta có đpcm.

 

P/S

 

Áp dụng bđt holder ta có : $(\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{3}} )9\geq (\sum \frac{x}{x+y})^{3} => VT\geq \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} Ta cần cm : \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} \geq \frac{3}{8} <=> \sum \frac{x}{x+y} \geq \frac{3}{2} Đến đây b tự làm nha$

 

BĐT cuối không phải luôn đúng nhé bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-07-2016 - 18:52

[royal1534]

Lời giải:

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^3}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^3}+\frac{1}{(1+\frac{x}{z})^3}\geq \frac{3}{8}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (1)$$

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ thì $abc=1$ và $(1)$ viết lại thành:

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8}$$

Ta sẽ chứng minh:

$$\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$$

$$\Leftrightarrow 8a^3+8\sqrt{a^3}+8\geq 3a^3+9a^2+9a+3$$

$$\Leftrightarrow 5a^3+8\sqrt{a^3}+5\geq 9a^2+9a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (2)$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng theo $\textrm{AM-GM}:$

• $$3a^3+6\sqrt{a^3}=3(a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3})\geq 3.3a^2=9a^2$$
• $$2a^3+2\sqrt{a^3}+5=a^3+a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3}+1+1+1+1+1\geq 9a$$

Cộng $(2)$ vế BĐT trên lại ta được $(2)$ đúng.

Chứng minh tương tự với $b,c$ suy ra:

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}+\frac{3}{8(b^3+\sqrt{b^3}+1)}+\frac{3}{8(c^3+\sqrt{c^3}+1)}$$

Cần chứng minh:

$$\frac{1}{a^3+\sqrt{a^3}+1}+\frac{1}{b^3+\sqrt{b^3}+1}+\frac{1}{c^3+\sqrt{c^3}+1}\geq 1$$

Nếu đặt $\sqrt{a^3}=m; \sqrt{b^3}=n; \sqrt{c^3}=p$ thì BĐT này trở nên quen thuộc:

$$\frac{1}{m^2+m+1}+\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{p^2+p+1}\geq 1.$$

Chứng minh

 Đặt $m=\frac{qr}{p^2}; n=\frac{pr}{q^2};p=\frac{pq}{r^2}$ thay vào rồi áp dụng $Schwarz$

Vậy ta có đpcm.

 

P/S

 Vào lúc 29 Tháng 7 2016 - 17:55, iloveyouproht đã nói:

BĐT này không phải luôn đúng nhé bạn.

Lời giải của Khánh rất hay. Anh không biết sao mà em tìm được bđt trung gian như vậy

Một lời giải khác:

----------------

Ta cũng đưa bđt về chứng minh:

$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3} \geq \frac{3}{8}$

Áp dụng bđt Holder ta có

$(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(1+a)^3} \geq \frac{bc}{2(a+b)(a+c)}$ (Vì $abc=1$)

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có
$\sum \frac{1}{(1+a)^3} \geq \frac{1}{2}[ \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}] $

Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+b)(c+a)} \geq \frac{3}{4}$

Quy đồng và biến đổi tương đương. BĐT trên tương đương với 

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c) \geq 6abc$

$\leftrightarrow b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2 \geq 0$: Đúng

Ta có điều phải chứng minh. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 29-07-2016 - 18:52

[tpdtthltvp]

Lời giải của Khánh rất hay. Anh không biết sao mà em tìm được bđt trung gian như vậy

 

À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$

Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$

Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$

Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$

Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.

---------------------------------------

Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-07-2016 - 20:22

[CaptainCuong]

À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 8}(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$

Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$

Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$

Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$

Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.

---------------------------------------

Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$

Vậy còn hai số 3 và 8 này em chọn như thế nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 30-07-2016 - 01:15

[royal1534]

À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$

Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$

Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$

Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$

Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.

---------------------------------------

Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$

Chỉ là bài toán anh đọc qua rồi. Nhưng anh nghĩ mò mẩm để cho ra bđt quen thuộc là chính :~

[tpdtthltvp]

Vậy còn hai số 3 và 8 này em chọn như thế nào?

 Ta đi chứng minh $\sum \frac{1}{(1+a)^3}\geq m.(\sum \frac{1}{a^{2k}+a^k+1})$ mà dấu $"="$ khi $a=1$ và $\sum \frac{1}{a^{2k}+a^k+1}\geq 1$ nên từ đó chọn được $m$ thích hợp.

 Cũng có cách "cùi" hơn là thấy đề yêu cầu chứng minh $\sum \frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8}$ nên chọn ngay $\frac{3}{8}$