Cho x, y, z>0 :
CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 29-07-2016 - 16:38
Cho x, y, z>0 :
CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 29-07-2016 - 16:38
Cho x, y, z>0 :
CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$
Áp dụng bđt holder ta có : $(\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{3}} )9\geq (\sum \frac{x}{x+y})^{3} => VT\geq \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} Ta cần cm : \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} \geq \frac{3}{8} <=> \sum \frac{x}{x+y} \geq \frac{3}{2} Đến đây b tự làm nha$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 29-07-2016 - 20:58
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
Cho x, y, z>0 :
CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$
Lời giải:
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^3}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^3}+\frac{1}{(1+\frac{x}{z})^3}\geq \frac{3}{8}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (1)$$
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ thì $abc=1$ và $(1)$ viết lại thành:
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8}$$
Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$$
$$\Leftrightarrow 8a^3+8\sqrt{a^3}+8\geq 3a^3+9a^2+9a+3$$
$$\Leftrightarrow 5a^3+8\sqrt{a^3}+5\geq 9a^2+9a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (2)$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng theo $\textrm{AM-GM}:$
Cộng $(2)$ vế BĐT trên lại ta được $(2)$ đúng.
Chứng minh tương tự với $b,c$ suy ra:
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}+\frac{3}{8(b^3+\sqrt{b^3}+1)}+\frac{3}{8(c^3+\sqrt{c^3}+1)}$$
Cần chứng minh:
$$\frac{1}{a^3+\sqrt{a^3}+1}+\frac{1}{b^3+\sqrt{b^3}+1}+\frac{1}{c^3+\sqrt{c^3}+1}\geq 1$$
Nếu đặt $\sqrt{a^3}=m; \sqrt{b^3}=n; \sqrt{c^3}=p$ thì BĐT này trở nên quen thuộc:
$$\frac{1}{m^2+m+1}+\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{p^2+p+1}\geq 1.$$
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-07-2016 - 18:52
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Lời giải:
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^3}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^3}+\frac{1}{(1+\frac{x}{z})^3}\geq \frac{3}{8}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (1)$$
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ thì $abc=1$ và $(1)$ viết lại thành:
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8}$$
Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$$
$$\Leftrightarrow 8a^3+8\sqrt{a^3}+8\geq 3a^3+9a^2+9a+3$$
$$\Leftrightarrow 5a^3+8\sqrt{a^3}+5\geq 9a^2+9a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ (2)$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng theo $\textrm{AM-GM}:$
- $$3a^3+6\sqrt{a^3}=3(a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3})\geq 3.3a^2=9a^2$$
- $$2a^3+2\sqrt{a^3}+5=a^3+a^3+\sqrt{a^3}+\sqrt{a^3}+1+1+1+1+1\geq 9a$$
Cộng $(2)$ vế BĐT trên lại ta được $(2)$ đúng.
Chứng minh tương tự với $b,c$ suy ra:
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}+\frac{3}{8(b^3+\sqrt{b^3}+1)}+\frac{3}{8(c^3+\sqrt{c^3}+1)}$$
Cần chứng minh:
$$\frac{1}{a^3+\sqrt{a^3}+1}+\frac{1}{b^3+\sqrt{b^3}+1}+\frac{1}{c^3+\sqrt{c^3}+1}\geq 1$$
Nếu đặt $\sqrt{a^3}=m; \sqrt{b^3}=n; \sqrt{c^3}=p$ thì BĐT này trở nên quen thuộc:
$$\frac{1}{m^2+m+1}+\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{p^2+p+1}\geq 1.$$
Chứng minhVậy ta có đpcm.
P/S
Lời giải của Khánh rất hay. Anh không biết sao mà em tìm được bđt trung gian như vậy
Một lời giải khác:
----------------
Ta cũng đưa bđt về chứng minh:
$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3} \geq \frac{3}{8}$
Áp dụng bđt Holder ta có
$(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(1+a)^3} \geq \frac{bc}{2(a+b)(a+c)}$ (Vì $abc=1$)
Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có
$\sum \frac{1}{(1+a)^3} \geq \frac{1}{2}[ \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}] $
Vậy ta chỉ cần chứng minh
$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+b)(c+a)} \geq \frac{3}{4}$
Quy đồng và biến đổi tương đương. BĐT trên tương đương với
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c) \geq 6abc$
$\leftrightarrow b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2 \geq 0$: Đúng
Ta có điều phải chứng minh. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 29-07-2016 - 18:52
Lời giải của Khánh rất hay. Anh không biết sao mà em tìm được bđt trung gian như vậy
À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$
Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$
Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$
Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$
Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.
---------------------------------------
Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-07-2016 - 20:22
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 8}(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$
Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$
Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$
Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$
Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.
---------------------------------------
Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$
Vậy còn hai số 3 và 8 này em chọn như thế nào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 30-07-2016 - 01:15
À với cách đặt như vậy thì $abc=1$ nên em liên tưởng tới BĐT $vasc: \;\;\;\;\;\;\;\ \sum \frac{1}{a^{2k}+a^{k}+1}\geq 1.$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^{2k}+a^k+1)}\Leftrightarrow 8a^{2k}+8a^k+5\geq 3a^3+9a^2+9a$
Để có được như vậy thì đẳng thức phải xảy ra, tức là $8a^{2k}+8a^k+5= 3a^3+9a^2+9a$
Đạo hàm cả $2$ vế thì được $16k.a^{2k-1}+8k.a^{k-1}=9a^2+18a+9$
Mà dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$ nên $a=1,$ từ đó tính được $k=\frac{3}{2}.$
Việc cuối cùng chỉ là đi chứng minh BĐT: $\frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8(a^3+\sqrt{a^3}+1)}$ là đúng.
---------------------------------------
Em cũng không biết tại sao anh lại nghĩ đến chứng minh BĐT: $(1+a)^3 \leq (1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})$
Chỉ là bài toán anh đọc qua rồi. Nhưng anh nghĩ mò mẩm để cho ra bđt quen thuộc là chính :~
Vậy còn hai số 3 và 8 này em chọn như thế nào?
Ta đi chứng minh $\sum \frac{1}{(1+a)^3}\geq m.(\sum \frac{1}{a^{2k}+a^k+1})$ mà dấu $"="$ khi $a=1$ và $\sum \frac{1}{a^{2k}+a^k+1}\geq 1$ nên từ đó chọn được $m$ thích hợp.
Cũng có cách "cùi" hơn là thấy đề yêu cầu chứng minh $\sum \frac{1}{(1+a)^3}\geq \frac{3}{8}$ nên chọn ngay $\frac{3}{8}$
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh