Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ac}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vuthilan742

vuthilan742

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết

cho abc duong. chung minh

$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ac}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Đào Thiên Long - Thpt Triệu Quang Phục


#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

cho abc duong. chung minh

$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ac}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Áp dụng Schur ta có:
$\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{xy+yz+zx}\geq \frac{\sum xy(x^{2}+y^{2})-xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx}=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)-2xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx}=x^{2}-\frac{2xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Khi đó ta chứng minh:
$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\geq \frac{2xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx}-\frac{3xyz}{x+y+z}$
Đặt $x+y+z=p, xy+yz+zx=q, xyz=r$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\frac{p^{2}-2q}{3}\geq \frac{2pr}{q}-\frac{3r}{p}$
$\Leftrightarrow q(p^{3}+9r)\geq 2p(q^{2}+3pr)$
Mà ta có $q(p^{3}+9r)\geq 4pq^{2}$ nên ta chứng minh:
$4pq^{2}\geq 2p(q^{2}+3pr)$
$\Leftrightarrow q^{2}\geq 3pr$(luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]

Tổng quát. Hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức

\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{kabc}{a+b+c} \ge \frac{k+3}{9}(a^2+b^2+c^2),\]

\[k_{\max} = \min {f(t)}_{t > 0} = \frac{3(t+2)(3t^2+4t+4)}{(t+4)(2t+1)} \approx 5.4855\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 31-07-2016 - 23:40

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh