Chủ đề này có 1 trả lời

[thinhtrantoan]

Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn $\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )$ chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3 hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9

[Hai2003]

Để ý rằng $3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)$

Mà $x^3+y^3+z^3\ \vdots \ 27,\ 3(x+y)(y+z)(z+x)\ \vdots \ 3$

$\Rightarrow (x+y+z)^3\ \vdots \ 3 \Rightarrow x+y+z\ \vdots \ 3\Rightarrow (x+y+z)^3\ \vdots \ 27\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\ \vdots \ 9$

 

TH1: Trong các tổng $x+y,\ y+z,\ z+x$ có 1 tổng chia hết cho 9

 

TH2: Có ít nhất 2 trong các số $x+y,\ y+z,\ z+x$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

Giả sử $x+y$ và $y+z$ chia hết cho 3. Vì $x+y+z \ \vdots \ 3$ nên $x\ \vdots \ 3, z\ \vdots \ 3 \implies y\ \vdots \ 3$

 

Vậy nếu $x,y,z$ là các số nguyên thỏa $x^3+y^3+z^3\ \vdots \ 27$ thì hoặc cả 3 số đều chia hết cho 3, hoặc có 2 số có tổng chia hết cho 9