131 replies to this topic

[yagami wolf]

3.

Theo Cauchy schwarz........................ Ta có :

$\sum \frac{a}{a^2-bc+1}=\sum \frac{a^2}{a^3-abc+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3-3abc+\sum a}$

 Cần CM: 

$\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3-3abc+\sum a}\geq \frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq \sum a^3-3abc+\sum a\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)+3abc-(a+b+c)\geq 0$ (đúng vì giả thiết)

[DangHongPhuc]

Ai làm được mình sẽ nhiệt tình like  khuyến khích tinh thần. Nếu ai thấy đề bài hay thì like ủng hộ mình để mình có động lực nhé

Edited by DangHongPhuc, 30-10-2016 - 17:54.

[le truong son]

2. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$

Đổi biến $(a;b;c)= (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$

Bất đẳng thức cần chứng minh <=>$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$( chứng minh BĐT này khá khó )

Giả sử $x\geq y\geq z$

TH1:$y+z>x$

Ta có: $x+y>z;y+z>x;z+x>y$

=>x;y;z là 3 cạnh của 1 tam giác

Áp dụng phép thế Ravi, đặt $x=p+q;y=p+r;z=q+r$(p,q,r>0)

Khi đó (1)<=>$(y+z)(z+x)(x+y)\geq 8xyz<=>x(y-z)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2$\geq 0$(hnđ)

=>đpcm

TH2:$y+z\leq x=>xyz$> 0$\geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)$

=>đpcm

Vậy BĐT được chứng minh

Edited by le truong son, 01-11-2016 - 11:36.

[DangHongPhuc]

Đổi biến $(a;b;c)= (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$

Bất đẳng thức cần chứng minh <=>$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$( chứng minh BĐT này khá khó )

Giả sử $x\geq y\geq z$

TH1:$y+z>x$

Ta có: $x+y>z;y+z>x;z+x>y$

=>x;y;z là 3 cạnh của 1 tam giác

Áp dụng phép thế Ravi, đặt $x=p+q;y=p+r;z=q+r$(p,q,r>0)

Khi đó (1)<=>$(y+z)(z+x)(x+y)\geq 8xyz<=>x(y-z)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2>0$(hnđ)

=>đpcm

TH2:$y+z\leq x=>xyz\geq 0\geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)$

=>đpcm

Vậy BĐT được chứng minh

Không có ý gì đâu. Mình rất phục bạn khi bạn đổi biến   nhưng $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)\leq xyz$ là bất đẳng thức Shur mà   , đừng có đùa mình chứ. Chắc là bạn chứng minh lại hoặc không để ý thôi

[le truong son]

Không có ý gì đâu. Mình rất phục bạn khi bạn đổi biến   nhưng $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)\leq xyz$ là bất đẳng thức Shur mà   , đừng có đùa mình chứ. Chắc là bạn chứng minh lại hoặc không để ý thôi

@@,chắc tại mình k để ý:v, lm phức tạp lên

[yagami wolf]

Đổi biến $(a;b;c)= (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$

Bất đẳng thức cần chứng minh <=>$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$( chứng minh BĐT này khá khó )

Giả sử $x\geq y\geq z$

TH1:$y+z>x$

Ta có: $x+y>z;y+z>x;z+x>y$

=>x;y;z là 3 cạnh của 1 tam giác

Áp dụng phép thế Ravi, đặt $x=p+q;y=p+r;z=q+r$(p,q,r>0)

Khi đó (1)<=>$(y+z)(z+x)(x+y)\geq 8xyz<=>x(y-z)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2>0$(hnđ)

=>đpcm

TH2:$y+z\leq x=>xyz\geq 0\geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)$

=>đpcm

Vậy BĐT được chứng minh

BDT này đâu đối xứng

[le truong son]

BDT này đâu đối xứng

Đối xứng nhé bn

[DangHongPhuc]

BDT này đâu đối xứng

Xem lại đi bạn, đối xứng rõ ràng thế kia

[le truong son]

45. ĐK: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

$x+y+z\leq xyz+2$

(Poland 1991)

BĐT cần chứng minh <=>$x+y+z-xyz\leq 2$ 

Ta có: $[x(1-yz)+1(y+z)]^2\leq (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(yz^2-2yz+2)$

Cần chứng minh $(2+2yz)(yz^2-2yz+2)\leq 4<=>yz\leq 1$

Mặt khác: $x^2+y^2+z^2=2\geq x^2+2yz\geq 2yz=>yz\leq 1$

=>đpcm

Edited by le truong son, 31-10-2016 - 22:50.

[hoangvunamtan123]

Đổi biến $(a;b;c)= (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$

Bất đẳng thức cần chứng minh <=>$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$( chứng minh BĐT này khá khó )

Giả sử $x\geq y\geq z$

TH1:$y+z>x$

Ta có: $x+y>z;y+z>x;z+x>y$

=>x;y;z là 3 cạnh của 1 tam giác

Áp dụng phép thế Ravi, đặt $x=p+q;y=p+r;z=q+r$(p,q,r>0)

Khi đó (1)<=>$(y+z)(z+x)(x+y)\geq 8xyz<=>x(y-z)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2>0$(hnđ)

=>đpcm

TH2:$y+z\leq x=>xyz\geq 0\geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)$

=>đpcm

Vậy BĐT được chứng minh

 

TH2 bi sai : do đổi biến nên ta có $xyz>0\geq \prod (x+y-z)$ còn trường hợp 1 là $\geq 0$

Edited by hoangvunamtan123, 01-11-2016 - 00:16.

[DangHongPhuc]

TH2 bi sai : do đổi biến nên ta có $xyz>0\geq \prod (x+y-z)$ còn trường hợp 1 là $\geq 0$

Nói chung là chỉ cần đổi biến xong rồi bảo áp dụng BĐT Shur là được

[LinhToan]

2. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$0\leq \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< 1$

bài này thì dễ rồi!!!

nhưng đây là những bài trong tài liệu tiếng anh ak???

[DangHongPhuc]

bài này thì dễ rồi!!!

nhưng đây là những bài trong tài liệu tiếng anh ak???

Tất cả đều trong tài liệu viết bằng tiếng Anh cả

[DangHongPhuc]

6. Cho $a_{1},a_{2},...a_{n}$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}^{2}+1}=n-1$, chứng minh rằng:

$\sum_{1\leq i\leq j\leq n}a_{i}a_{j}\leq \frac{n}{2}$

[DangHongPhuc]

7. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$, chứng minh rằng:

$5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\leq 6\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+1$

[DangHongPhuc]

8. Cho $a,b,c$ là những số thực dương, chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}-ca+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq a+b+c$

Edited by DangHongPhuc, 02-11-2016 - 15:45.

[DangHongPhuc]

9. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

[DangHongPhuc]

10. Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là những số thực dương thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=n$, chứng minh rằng:

$\frac{1}{2}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}} \right )\geq n-1+\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$

[Nguyenphuctang]

Mình có 1 vấn đề nho nhỏ muốn trao đổi với các bạn.
Khi các bạn đăng bài bạn nên trích rõ nguồn. Nếu không biết bạn có thể để :''sưu tầm và giới thiệu''  

Ở đây mình thấy bạn lập topic này có để : Từ 1 quyển sách tiếng anh nào đó thì mình cũng không có ý kiến gì.
Nếu trong sách có ghi nguồn của từng bài thì nên trích ra. Coi như thể hiện sự tôn trọng đối với tác giả....
Mình xin hết 

[Nguyenphuctang]

9. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Nguồn: Bulgaria 1997.