Đến nội dung

Hình ảnh

109 bất đẳng thức

* * * * * 3 Bình chọn tài liệu nước ngoài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 131 trả lời

#1
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

MÌnh có một cuốn sách tên là "109 Inequalities From the AwesomeMath Summer Program" của Titu Andreescu và Adithya Ganesh, trong đó có rất nhiều bất đẳng thức hay. MÌnh lập topic này để đăng lên cho các bạn cùng tham khảo và thảo luận. Các dạng BĐT chính là AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, Nesbitt, Rearrangement và Chebyshev. Một số bất đẳng thức khó mình sẽ đăng đáp án vào ngày hôm sau. Like và khuyến khích những bạn có cách giải khác hay.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 19:59

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#2
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

1. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:28

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#3
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

Ta có $(x^4+ y^2)(1+y^2) \geq ( x^2+y^2)^2 $

Do đó, ta đưa bất đẳng thức về chứng minh 

$\frac{x(1+y^2) + y(1+x^2) }{(x^2+y^2)^2 } \leq \frac{1}{xy} $

Tương đương với chứng minh

$(x^2+y^2)^2 \geq xy(x+y+xy(x+y) ) $

Khai triển ra ta có đpcm 



#4
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

2. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$0\leq \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:13

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#5
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

3. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c+3$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#6
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

bn viết sai rồi kìa


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#7
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

4. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#8
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

bn viết sai rồi kìa

cảm ơn bạn nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:14

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#9
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

5. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq a+b+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#10
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

6. ĐK $x,y,z> 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#11
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

MÌnh có một cuốn sách tên là "109 Inequalities From the AwesomeMath Summer Program" của Titu Andreescu và Adithya Ganesh, trong đó có rất nhiều bất đẳng thức hay. MÌnh lập topic này để đăng lên cho các bạn cùng tham khảo và thảo luận. Các dạng BĐT chính là AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, Nesbitt, Rearrangement và Chebyshev. Một số bất đẳng thức khó mình sẽ đăng đáp án vào ngày hôm sau. Like và khuyến khích những bạn có cách giải khác hay.

Bạn nên viết điều kiện của bất đẳng thức nhé



#12
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

7. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:18

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#13
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Bạn nên viết điều kiện của bất đẳng thức nhé

Những cái mình không viết điều kiện thì các bạn hiểu cho mình là các số đó thuộc tập số thực nhé, còn có điều kiện gì thêm thì mình sẽ viết ngay trên đầu bài toán


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#14
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

1. $\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

Nếu số thực thì bài này sai rồi

$x=1 ; y=-1 $



#15
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

8. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{1}{10a+11b+11c}+\frac{1}{11a+10b+11c}+\frac{1}{11a+11b+10c}\leq \frac{1}{32a}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:18

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#16
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Nếu số thực thì bài này sai rồi

$x=1 ; y=-1 $

Mình rất xin lỗi bạn và các bạn đọc khác, vì là tài liệu tiếng anh nên mình không để ý kĩ, mình sẽ khắc phục ngay


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#17
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

1. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

$\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}\leq \frac{x}{2\sqrt{x^{4}y^{2}}}+\frac{y}{2\sqrt{y^{4}x^{2}}}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}$

Dấu ''='' $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x,y>0\\x^{4}=y^{2} \\y^{4}=x^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1$



#18
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

8. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{10a+11b+11c}+\frac{1}{11a+10b+11c}+\frac{1}{11a+11b+10c}\leq \frac{1}{32a}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$

Ta có $\sum \frac{1}{10a+11b+11c}=\sum \frac{1}{(a+a+...+a)+(b+b+...+b)+(c+c+...+c)}\leq \frac{1}{32^2}.\sum (\frac{1}{10a}+\frac{1}{11b}+\frac{1}{11c})=\sum \frac{1}{32a}$


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#19
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

2. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$0\leq \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< 1$

Áp dụng $\frac{x}{y}<\frac{x+m}{y+m}$ (với y,m>0; x<y). Khi đó:

$A=\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< \frac{a-b+a}{b+c+a}+\frac{b-c+b}{c+a+b}+\frac{c-a+c}{a+b+c}=1$

$A=\frac{a-b-c+c}{b+c}+\frac{b-c-a+a}{c+a}+\frac{c-a-b+b}{a+b}=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}-3\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+c}{b+c}.\frac{b+a}{c+a}.\frac{c+b}{a+b}}-3=0$

Dấu ''='' khi và chỉ khi a=b=c



#20
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

3. Cho $a+b+c=3$ ĐK $x,y> 0$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

BĐT cần c/m tương đương với: 

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}=\frac{9-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 9$

Có $a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}.\sqrt{a}.\sqrt{a}}=3a$, ...

nên $2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3a+3b+3c=9$

Dấu ''='' khi và chỉ khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 30-07-2016 - 23:03





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh