Đến nội dung

Hình ảnh

109 bất đẳng thức

* * * * * 3 Bình chọn tài liệu nước ngoài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 131 trả lời

#21
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

4. ĐK $x,y> 0$

$\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4b$

Có $A=\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{c+a}$

mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{c+a}\geq 4b\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc-2ab+2ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b+c)^{2}\geq 0$  (đúng)

Dấu ''='' $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\\frac{a+b}{c} =\frac{c}{a} \\ a+c=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{b}{3}=\frac{c}{2}$ (a>0)



#22
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

7. ĐK $x,y> 0$

$\frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$

BĐT tương đương với $(a^2+b^2)(a^4+b^4)^2\leq (a+b)(a^3+b^3)(a^6+b^6)\Leftrightarrow (a^4+b^4)^2\leq (a^4-a^2b^2+b^4)(a^3+b^3)(a+b)$

Do $(a^4-a^2b^2+b^4)(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^4+b^4-a^2b^4)(a^4+b^4+2a^2b^2)=(a^4+b^4)^2+a^2b^2(a^2-b^2)^2\geq (a^4+b^4)^2$

(đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 31-07-2016 - 00:12

Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#23
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

9. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$

$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:16

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#24
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

10. ĐK $a,b,c> 0$, $abc=1$

$\frac{a+b+1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{b+c+1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{c+a+1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#25
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

11. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a^{3}c}{b(c+a)}+\frac{b^{3}a}{c(a+b)}+\frac{c^{3}b}{a(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#26
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

12. ĐK $a,b,c> 0$, $abc=1$

$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\leq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#27
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

13. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq \frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#28
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

14. $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{abc}\geq 7$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#29
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

15. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}\geq 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#30
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Ta có $(x^4+ y^2)(1+y^2) \geq ( x^2+y^2)^2 $

Do đó, ta đưa bất đẳng thức về chứng minh 

$\frac{x(1+y^2) + y(1+x^2) }{(x^2+y^2)^2 } \leq \frac{1}{xy} $

Tương đương với chứng minh

$(x^2+y^2)^2 \geq xy(x+y+xy(x+y) ) $

Khai triển ra ta có đpcm 

Còn 1 cách nữa rất đơn giản bạn ạ 

$\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}\leq \frac{x}{2\sqrt{x^{4}y^{2}}}+\frac{y}{2\sqrt{x^{2}y^{4}}}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#31
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Bài 5 chưa bạn nào giải được mình up đáp án nhé

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b^{2}}.b.b}=3a$

Tương tự $\frac{b^{3}}{c^{2}}+c+c\geq 3b; \frac{c^{3}}{a^{2}}+a+a\geq 3c$

Cộng 3 BĐT trên ta có 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}+(2a+2b+2c)\geq 3a+3b+3c$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq a+b+c$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#32
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

16. ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#33
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

17. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 13:53

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#34
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

18.ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#35
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

19. ĐK: $a,b,c> 0$ $abc=1$

$\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq 1$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#36
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#37
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

21. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#38
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

22. $x,y,z\geq 0$ trong đó không có 2 số đồng thời bằng 0

$\frac{x^{2}-yz}{x+y}+\frac{y^{2}-zx}{y+z}+\frac{z^{2}-xy}{z+x}\geq 0$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#39
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

23. ĐK: $a,b,c,d> 0$

$\frac{1}{a^{2}+ab}+\frac{1}{b^{2}+bc}+\frac{1}{c^{2}+cd}+\frac{1}{d^{2}+da}\geq \frac{4}{ab+bd}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#40
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

6. ĐK $x,y,z> 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x^{2}+\frac{1}{2}y^{2})+(\frac{1}{2}y^{2}+z^{2})\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{1}{2}y^{2}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y^{2}.z^{2}}=\sqrt{2}(xy+yz)$

Dấu ''='' $\Leftrightarrow x=z=\frac{1}{\sqrt{2}}y$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh