Chủ đề này có 2 trả lời

[NAT]

Giải PT: $6x+8\sqrt{1-{{x}^{2}}}=5\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$

[An Infinitesimal]

P

 

Giải PT: $6x+8\sqrt{1-{{x}^{2}}}=5\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$

Phương trình đã được gán nhản "lượng giác". Và sau khi lượng giác hóa, $x=\cos{t} (t\in [0,\pi])$, ta có phương trình

\[6\cos{t}+8\sin{t}= 5\sqrt{2} \left(\cos{\frac{t}{2}}+\sin{\frac{t}{2}}\right).\]

Phương trình lượng giác này cũng là hiện thân của lớp phương trình lượng giác:

\[A\sin{(u(x)}+B\cos{(u(x)}=C\sin{(v(x)}+D\cos{(v(x)},\] 

trong đó $A, B, C, D$ thỏa $A^2+B^2=C^2+D^2.$

Phương trình lượng giác viết lại là $\sin{(t+\arcsin{\frac{3}{5}})}= \sin{(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4})}.$

Phần còn lại cũng hơi phiền. (Xin dừng lại ở đây!)

[An Infinitesimal]

Giải PT: $6x+8\sqrt{1-{{x}^{2}}}=5\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$

Phương trình đã được gán nhãn "lượng giác". Và sau khi lượng giác hóa, $x=\cos{t} (t\in [0,\pi])$, ta có phương trình

\[6\cos{t}+8\sin{t}= 5\sqrt{2} \left(\cos{\frac{t}{2}}+\sin{\frac{t}{2}}\right).\]

Phương trình lượng giác này cũng là hiện thân của lớp phương trình lượng giác:

\[A\sin{(u(x)}+B\cos{(u(x)}=C\sin{(v(x)}+D\cos{(v(x)},\] 

trong đó $A, B, C, D$ thỏa $A^2+B^2=C^2+D^2.$

Phương trình lượng giác viết lại là $\sin{(t+\arcsin{\frac{3}{5}})}= \sin{(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4})}.$

Dẫn đến $t= \frac{\pi}{2}- 2 \arcsin{\frac{3}{5}} \vee t= \frac{3\pi}{4}-\frac{2}{3}\arcsin\frac{3}{5}.$

Do đó phương trình ban đầu chỉ có các nghiệm $x= \sin{ 2 \arcsin{\frac{3}{5}}}= \frac{24}{25} \vee x= \cos{\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{2}{3}\arcsin\frac{3}{5}\right)}.$