Dưới đây là lời giải bài 53 và bài 54:
Lời giải bài 53:
Theo BDT Caychy-Schwarz: $(x+y)^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2})^2\le 3(x+y)\implies 0\le x+y\le 3$.
Đặt $t=x+y\text{ }\forall t\in [0;3]$.
$P=t^2+2t+8\sqrt{4-t}+2$.
Xét hàm số: $f(t)=t^2+2t+8\sqrt{4-t}+2$ trên $[0;3]$.
$\implies f'(t)=2t+2-\frac{4}{\sqrt{4-t}}\ge 0,\forall t\in [0;3]$.
Vậy $Min(P)=f(0)=18$ khi $x=1,y=-1$, $Max(P)=f(3)=25$ khi $x=2,y=1$.
Lời giải bài 54:
Áp dụng BDT $AM-GM$ ta có:
$\frac{a^3}{2\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{2\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{16}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^6}{64}}=\frac{3a^2}{4}$.
Tương tự cho hai bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại ta được:
$P+\frac{a^2+b^2+c^2+9}{16}\ge \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\implies P\ge \frac{3}{2}(\text{do } a^2+b^2+c^2=3)$.
Vậy $Min(P)=\frac{3}{2}$. Vậy GTNN $P=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=1$.
Một cách giải khác cho bài 54
$\dpi{120} P=\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}$+$\dpi{120} \frac{b^4}{b\sqrt{c^2+3}}$+$\dpi{120} \frac{c^4}{c\sqrt{a^2+3}}$
===>$\dpi{120} P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}$
===P$\dpi{120} \geq \frac{9}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}$
Mẫu số dùng BĐT bunhia
$\dpi{120} a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}$$\dpi{120} \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2+9)}=6$
==> P$\dpi{120} \geq 3/2$
Dấu = có $\dpi{120} \Leftrightarrow a=b=c=1$
P/s trên đề anh viết sai ạ