Dưới đây là lời giải bài 63 và bài 64:
Lời giải bài 63:
Ta có đánh giá như sau: $a+bc\ge a(a+b+c)\ge a^2+2a\sqrt{bc}\ge a^2(1+\sqrt{bc})\implies \sqrt{\frac{a+bc}{1+\sqrt{bc}}}\ge a$.
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{b+ca}{1+\sqrt{ca}}}\ge b$.
Vậy nên: $P\ge a+b+\sqrt{2c+5}=1-c+\sqrt{2c+5}$.
Xét hàm số: $f(c)=\sqrt{2c+5}-c+1;c\in [0;1]$.
Dễ dàng có: $f(c)$ nghịch biến. Vậy $f(c)\ge f(1)=\sqrt{7}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0,c=1$.
Lời giải bài 64: Giả thiết bài toán tương đương với: $(\frac{a}{c}+1)(\frac{b}{c}+1)=4$.
Bây giờ, ta có: $A=\frac{4.\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{4.\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+1}-2.\frac{a}{c}.\frac{b}{c}-\sqrt{7-3.\frac{a}{c}.\frac{b}{c}}$.
Đặt $(\frac{a}{c};\frac{b}{c})\to (x;y)(x,y>0)\implies (x+1)(y+1)=4$.
Áp dụng $AM-GM$ ta có: $(x+1)(y+1)=4\iff 3=xy+x+y\ge xy+2\sqrt{xy}\implies 0<xy\le 1.$.
Và dễ dàng chứng minh được: $x+y\ge 2$
Khi đó: $A=\frac{4x}{y+1}+\frac{4y}{x+1}-2xy-\sqrt{7-3xy}$
$=\frac{4x(x+1)+4y(y+1)}{(x+1)(y+1)}-2xy-\sqrt{7-3xy}$.
$=x^2+y^2+x+y-2xy-\sqrt{7-3xy}$.
$=(x+y)^2+x+y+xy-5xy-\sqrt{7-3xy}\ge 4+3-5xy-\sqrt{7-3xy}$.
$\implies A\ge 7-5xy-\sqrt{7-3xy}$.
Đặt $t=xy\implies t\in (0;1]$.
Xét hàm: $f(t)=7-5t-\sqrt{7-3t},t\in (0;1]$.
$f'(t)=\frac{3}{2\sqrt{7-3t}}-5<0\forall t\in (0;1]$.
Suy ra $f(t)\ge f(1)=0$.
Vậy nên: $A\ge 0$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c$.