Và dưới đây là lời giải bài 5 và bài 6:
Lời giải bài 5:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $2+xy\ge \frac{3}{2}+\sqrt{2xy}=x^4+y^4+\frac{1}{xy}\ge 2x^2y^2+\frac{1}{xy}$(Cách chứng minh giống bạn MInhnguyenthe333).
Đặt $t=xy\implies t+2\ge 2t^2+\frac{1}{t}\implies (t+1)(t-1)(2t-1)\le 0\implies \frac{1}{2}\le t\le 1(\text{ (vì t>0)})$.
Khi đó: Áp dụng BĐT phụ quen thuộc: $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\le \frac{2}{xy+1}\forall xy\in[0;1]$.
Ta có: $L\le \frac{2}{xy+1}-\frac{3}{1+2xy}\implies L\le \frac{4}{t+1}-\frac{3}{2t+1}=\frac{5t+1}{2t^2+3t+1}$
$=\frac{7}{6}-\frac{(2t-1)(7t-1)}{2t^2+3t+1}\le \frac{7}{6}(\text{vì } \frac{1}{2}\le t)$.
Đẳng thức xảy ra khi $t=\frac{1}{2}$.
Vậy $L_{max}=\frac{7}{6}$ tại $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Lời giải bài 6:
Nhìn biểu thức $P$ ta nghĩ tới BĐT sau: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{8}{(a+b)^2}$.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{2}{ab}\ge \frac{8}{(a+b)^2}$
$\implies \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}\ge \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}$.
$\implies P\ge \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\ge \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}$.
Ta có: $2x+y+2z=(2x+4y+2z)-3y\le (x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1)-3y\le 6$.
Suy ra: $P\ge \frac{64}{(3+5)^2}=1$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1;y=2;z=1$.
Vậy $P_{min}=1$ tại $x=1,y=2,z=1.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-08-2016 - 06:05