Chủ đề này có 2 trả lời

[Sonhai224]

cho a,b,b là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$       tìm gtnn của biểu thức sau                                     $P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}$    (bìa này của bạn happyfree từng đăng lên diễn đàn mà chưa có lời giải nên mình đăng lại để mong tìm được lời giải của bài này )

[Nguyenhuyen_AG]

cho a,b,b là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$       tìm gtnn của biểu thức sau                                     $P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}$    (bìa này của bạn happyfree từng đăng lên diễn đàn mà chưa có lời giải nên mình đăng lại để mong tìm được lời giải của bài này )

 

Viết điều kiện lại dưới dạng $(a+b+c)^2 = 4(ab+bc+ca).$ Đặt $p = a + b + c,\,q=ab+bc+ca$ và $r = abc$ thì $p^2 = 4q.$ Lại có

\[(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 = p^2q^2 - 4q^3 + 2p(9q-2p^2)r - 27r^2 \geqslant 0,\]

nhưng vì $p^2 = 4q$ cho nên

\[\frac{1}{2}p^3r-27r^2 \geqslant 0.\]

Giải phương trình này theo $r$ ta được $0 < r \leqslant \frac{p^3}{54}.$ Lúc này

\[P = p-\frac{9}{p}+\frac{1}{r} \geqslant p-\frac{9}{p}+\frac{54}{p^3} = f(p).\]

Ta có

\[f^{'}(p) = \frac{(p-3)(p+3)(p^2+18)}{p^4}.\]

Do đó phương trình $f^{'}(p) = 0$ có nghiệm duy nhất $p  =3.$ Lập bảng biến thiên ta được

\[f(p) \geqslant f(3) = 2.\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \frac{1}{2},c=2$ cùng các hoán vị. Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $2.$

[superpower]

cho a,b,b là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$       tìm gtnn của biểu thức sau                                     $P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}$    (bìa này của bạn happyfree từng đăng lên diễn đàn mà chưa có lời giải nên mình đăng lại để mong tìm được lời giải của bài này )

Bài này em làm khác

Đặt $x^2  =a ; y^2=b , z^2=c $

Khi đó ta có được $x^4+y^4+z^4 = 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 ) $

Theo 1 kết quả quen thuộc ( có thể chứng minh bằng công thức hê rông ) thì 

$x^4+y^4+z^4 - 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 )= (x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y ) $

Do đó, bđt cần chứng minh chỉ còn lại 2 biến

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại

$x^2+y^2 + z^2 +\frac{1}{x^2y^2z^2} - \frac{9}{x^2+y^2+z^2 } \geq 2$

Thay $z=x+y $, ta được 

$x^2+y^2 + (x+y)^2 + \frac{1}{x^2y^2(x+y)^2} -\frac{9}{x^2+y^2+(x+y)^2 } \geq 2 $

Sau đó viết lại theo $S,P$ rồi áp dụng $S^2 \geq 4P $ là ra