Bài toán: Cho tứ diện Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$.
Chứng minh: $$S_{OAB}^{2}+S_{OBC}^{2}+S_{OCA}^{2}=S_{ABC}^{2}$$
Bài toán gốc: Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$. Các góc $\alpha \beta \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi mặt phẳng $(OAB),(OBC),(OCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh: $$cos^{2}\alpha+ cos^{2}\beta+ cos^{2}\gamma =1$$
Mình không biết vẽ hình nên mình chỉ nói suông thôi nha bạn vẽ hình minh họa ra cũng dễ hiểu thôi.
Một hình chung 2 bài luôn.
Kí hiệu vuông góc mình không biết nên ghi tạm thế này ''vg''
Kẻ OK vg BC.Ta có OA vg (OBC) $\Rightarrow $ OA vg BC
$\Rightarrow $ (OAK) vg BC $\Rightarrow $ AK vg BC
Kẻ OH vg AK $\Rightarrow $ OH vg BC $\Rightarrow $ OH vg (ABC)
OK vg BC,AK vg BC $\Rightarrow \beta=\widehat{OKA}$
Tương tự kẻ OI vg AB,OJ vg AC thì $\alpha=\widehat{OIC},\gamma=\widehat{OJB}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông dễ dàng ta có
$\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}=\frac{1}{OH^{2}}$ chứng minh thông qua OK
Ta chứng minh bài toán phụ trước
Ta có $sin^{2}\beta =\frac{OH^{2}}{OK^{2}} $.Tương tự với OI,OJ
suy ra $sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=OH^{2}(\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OJ^{2}})$
Mặt khác $\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OJ^{2}}=2(\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}})$
$\Rightarrow sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=2 $
$\Rightarrow cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=1$
Giải bài toán gốc
Ta có $(\frac{S_{OBC}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}=(\frac{OK.BC}{AK.BC})^{2}=(\frac{OK}{AK})^{2}=cos^{2}\widehat{OKA}=cos^{2}\beta$
Tương tự ta có
$(\frac{S_{OAB}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}+(\frac{S_{OBC}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}+(\frac{S_{OCA}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}$
$=cos^{2}\alpha+cos^{2}beta+cos^{2}\gamma=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VODANH9X: 12-08-2016 - 22:46