Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$f(x-f(y))=3f(x)-2x-f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$f(x-f(y))=3f(x)-2x-f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$
Dễ thấy hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập $R$ , kí hiệu $P(u,v)$ bởi phép thế $(x,y) \to (u,v)$ , đặt $f(0)=3a$
$$P(f(y),y) => a=f(f(y))-f(y)$$
$$P(f(x),y)=>f(f(x)-f(y))=3f(f(x))-2f(x)-f(y)=3a+3f(x)-2f(x)-f(y)=f(x)-f(y)+3a$$
$$P(f(x)-f(y),y)=>f(f(x)-2f(y))=f(f(x)-f(y)-f(y))=3f(f(x)-f(y))-2(f(x)-f(y))-f(y)=3(f(x)-f(y))+9a-2(f(x)-f(y))-f(y))=f(x)-2f(y)+9a$$
$$P(f(x)-2(y),y)=>f(f(x)-3f(y))=f(f(x)-2f(y)-f(y)=3f(f(x)-2f(y))-2f(f(x)-2f(y))-f(y)=3(f(x)-2f(y))+27a-2(f(x)-2f(y))-f(y)=f(x)-3f(y)+27a$$
$$P(u,v)=>f(x)=x+27a$$
Thử lại có $f(x) \equiv x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 18:09
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Dễ thấy hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập $R$ , kí hiệu $P(u,v)$ bởi phép thế $(x,y) \to (u,v)$ , đặt $f(0)=3a$
$$P(f(y),y) => a=f(f(y))-f(y)$$
$$P(f(x),y)=>f(f(x)-f(y))=3f(f(x))-2f(x)-f(y)=3a+3f(x)-2f(x)-f(y)=f(x)-f(y)+3a$$
$$P(f(x)-f(y),y)=>f(f(x)-2f(y))=f(f(x)-f(y)-f(y))=3f(f(x)-f(y))-2(f(x)-f(y))-f(y)=3(f(x)-f(y))+9a-2(f(x)-f(y))-f(y))=f(x)-2f(y)+9a$$
$$P(f(x)-2(y),y)=>f(f(x)-3f(y))=f(f(x)-2f(y)-f(y)=3f(f(x)-2f(y))-2f(f(x)-2f(y))-f(y)=3(f(x)-2f(y))+27a-2(f(x)-2f(y))-f(y)=f(x)-3f(y)+27a$$
$$P(u,v)=>f(x)=x+27a$$
Thử lại có $f(x) \equiv x$
Bạn có thể giải thích tại sao hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập R được không ?
Bạn có thể giải thích tại sao hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập R được không ?
Ban đầu có $f(x-f(y))-3f(x)=-2x-f(y)$ , vế phải là một toàn ánh nên $f(x-f(y))-3f(x)$ cũng toàn ánh
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$f(x-f(y))=3f(x)-2x-f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$
Ta đặt $g(x)=f(x)-x$.
Ta sẽ có $g(x-f(y))=3g(x)$. Do đó, $g(x-3f(y))=27g(x)$.
Mặt khác, $f(x-f(y))-3f(x)=-2x-f(y)$ nên $f$ toàn ánh và $\forall x\in\mathbb{R},\exists u,v\in\mathbb{R}:x=f(u)-3f(v)$.
Nói một cách khác, do $x-y\in\mathbb{R}$ nên $\exists u,v: x-y=f(u)-3f(v)\Rightarrow x-f(u)=y-3f(v)\Rightarrow 3g(x)=g(x-f(u))=g(y-3f(v))=27g(y)\Rightarrow g(x)=9g(y)$. Hoán đổi x,y ta cũng có $g(y)=9g(x)$ nên $g(x)=g(y)\forall x,y\in\mathbb{R}$ nên $g$ là hàm hằng. Từ đó ta có $f(x)=x+c$ với $c$ là hằng số thực. Thử lại, ta có $f(x)=x$ thỏa đề.
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh