Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyenngoctu]

Chứng minh rằng dãy số $$\left( {{u_n}} \right):\,\,{u_n} = {2^n} - 3,\,\,\forall n \ge 2,\,\,n \in $$ chứa vô hạn số nguyên tố cùng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenngoctu: 13-08-2016 - 18:34

[Hai2003]

Mình chứng minh 2 số $u_n$ và $u_{n+1}$ nguyên tố cùng nhau. Gọi $d$ là UCLN của $u_n$ và $u_{n+1}$

$\implies \left\{\begin{array}{ll}2^n-3 \ \vdots \ d\Leftrightarrow 2^{n+1}-6\ \vdots \ d\\ 2^{n+1}-3 \ \vdots \ d\end{array}\right.\\ \implies 3\ \vdots \ d$

Vì $d$ là số tự nhiên và $2^n-3$ không chia hết cho 3 nên $d=1$. Ta có đpcm.

[Nguyenngoctu]

Mình chứng minh 2 số $u_n$ và $u_{n+1}$ nguyên tố cùng nhau. Gọi $d$ là UCLN của $u_n$ và $u_{n+1}$

$\implies \left\{\begin{array}{ll}2^n-3 \ \vdots \ d\Leftrightarrow 2^{n+1}-6\ \vdots \ d\\ 2^{n+1}-3 \ \vdots \ d\end{array}\right.\\ \implies 3\ \vdots \ d$

Vì $d$ là số tự nhiên và $2^n-3$ không chia hết cho 3 nên $d=1$. Ta có đpcm.

Bạn có chút nhầm lẫn thì phải. Chứng minh rằng dãy số trên có chứa vô hạn số nguyên tố cùng nhau.

[Hai2003]

Bạn có chút nhầm lẫn thì phải. Chứng minh rằng dãy số trên có chứa vô hạn số nguyên tố cùng nhau.

Thì mình chứng minh 2 số liên tiếp của dãy trên luôn nguyên tố cùng nhau. Tức là $u_1$ và $u_2$, $u_3$ và $u_4$, $u_5$ và $u_6$, ... đều nguyên tố cùng nhau (vô hạn số)

Hay ý bạn là tất cả các số của dãy đều nguyên tố cùng nhau?

[bangbang1412]

Thì mình chứng minh 2 số liên tiếp của dãy trên luôn nguyên tố cùng nhau. Tức là $u_1$ và $u_2$, $u_3$ và $u_4$, $u_5$ và $u_6$, ... đều nguyên tố cùng nhau (vô hạn số)

Hay ý bạn là tất cả các số của dãy đều nguyên tố cùng nhau?

Có vẻ bạn chưa hiểu vấn đề , chứa vô hạn số nguyên tố cùng nhau ở đây tức là có một dãy con của dãy ban đầu mà cứ hai số trong dãy con này thì đều nguyên tố cùng nhau . Đây là lời giải :

Ta thấy hai số đầu tiên của dãy là $1$ và $5$ nguyên tố cùng nhau , giả sử quy nạp đã xây dựng được dãy con

$$a_{1}=2^{n_{1}}-3,...a_{k}=2^{n_{k}-3}$$

Thỏa mãn hai số bất kì nguyên tố cùng nhau và $n_{1}<n_{2}<...<n_{k}$ . Ta sẽ tìm số $a_{k+1}=2^{n_{k+1}}-3$ thỏa mãn nguyên tố cùng nhau với tất cả các số còn lại . Đặt $S=\prod_{i=1}^{k}a_{i}$ trong $S+1$ số $2^{0},...2^{S}$ theo nguyên lý Ddirrichle có hai số cùng số dư khi chia cho $S$ giả sử là $2^{r},2^{t}(r>t)$ khi đó tồn tại $a \in N$ mà $aS=(2^{r-t}-1)2^{t}$, do $(S,2)=1$ nên $S|2^{r-t}-1$ nên tồn tại $bS=2^{r-t}-1$ hay $2^{r-t+2}-3=4.2^{r-t}-3=4bS+1$ nguyên tố cùng nhau với $S$ . Tức là nguyên tố cùng nhau với tất cả các số còn lại . Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 21:16