Chủ đề này có 1 trả lời

[thuydunga9tx]

Giải pt nghiệm nguyên
1)$x^2+5y^2-y-5-4xy-2x=0$
2)$x^2+2xy-3y^2-2y+6x+10=0$

[L Lawliet]

Giải pt nghiệm nguyên
1)$x^2+5y^2-y-5-4xy-2x=0$
2)$x^2+2xy-3y^2-2y+6x+10=0$

Cách giải tương tự cách giải hai bài này bạn tham khảo rồi làm thử nhé.

 

Câu 2: Tìm mọi nghiệm nguyên của phưng trình: $\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}$.

Lời giải.

Phương trình tương đương:

$$3x^{2}-\left ( 3y+7 \right )x+3y^{2}-7y=0$$

Xem phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$. Ta có:

\begin{align*} \Delta &=\left ( 3y+7 \right )^{2}-12\left ( 3y^{2}-7y \right ) \\ &=-27y^{2}+126y+49 \end{align*}

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì đầu tiên $\Delta $ phải không âm, do đó ta có:

$$\frac{21-14\sqrt{3}}{9}\leq y\leq \frac{21+14\sqrt{3}}{9}$$

Vì $y$ nguyên nên ta được $y\in \left \{ 0;1;2;3;4;5 \right \}$.

Mặt khác để $x$ nguyên thì ít nhất $\Delta $ phải là số chính phương, thử lại ta được $y\in \left \{ 0;4;5 \right \}$.

Với mỗi giá trị của $y$ thay vào giải phương trình bậc hai ẩn $x$ rồi chọn giá trị $x$ nguyên.

 

Tìm cặp $x,y$ nguyên thõa mãn:
$12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

Lời giải.

Viết lại phương trình thành:

$$12x^{2}+\left ( 6y-28 \right )x+3y^{2}-28y=0$$

Xem phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$. Ta có:

$$\Delta =\left ( 6y-28 \right )^{2}-48\left ( 3y^{2}-28y \right )=-108y^{2}+1008y+784$$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì $\Delta $ phải không âm từ đó giải bất phương trình ta được $\frac{42-28\sqrt{3}}{9}\leq y\leq \frac{42+28\sqrt{3}}{9}$.

Vì $y$ nguyên nên ta được $y\in \left { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right }$.

Mà để $x$ nguyên thì ít nhất $\Delta $ phải là số chính phương do đó ta được $y\in \left { 0;8;10 \right }$.

Với mỗi giá trị của $y$ thay vào giải phương trình bậc hai tìm được $x$ rồi chọn $x$ nguyên.

 

Riêng câu 2 thì khi xét $\Delta $ ta không thể chặn $y$ như các câu trên nên để phương trình có nghiệm nguyên thì ít nhất $\Delta $ phải là số chính phương do đó ta xét phương trình $\Delta =a$ (với $a$ nguyên) sau đó ta biến đổi được phương trình:

$$\left ( 2y+2-a \right )\left ( 2y+2-a \right )=5$$

Sau đó để $y$, $a$ nguyên thì $\left ( 2y+2-a \right )$ và $\left ( 2y+2+a \right )$ phải là các ước của $5$.

Lập hệ và giải chọn hệ nào cho $y$ và $a$ nguyên rồi thay vào tìm $x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-08-2016 - 11:28