Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các cặp $(x, y, p)$ nguyên dương và $p$ là số nguyên tố để $x+y^{p-1}$ và $y+x^{p-1}$ đều là lũy thừa của $p.$

[I Love MC]

$p=2$ thì đương nhiên tồn tại vô số $x,y \in \mathbb{N^*}$ để $x+y$ là lũy thừa của $2$
$p \ge 3$ ta đặt $x^{p-1}+y=p^a(1),y^{p-1}+x=p^b(2)$ . Rõ ràng nếu $b=a$ tức là ta sẽ có ngay điều vô lí 
Giả sử $p$ chia hết $x,y$ ,đặt $v_p(x)=m,v_p(y)=n$ rõ ràng ta có $a >m,n$ ,nếu $m(p-1) \ne n$ ko thể bằng nhau,ta giả sử $m>n$ vậy thì từ phương trình (1) ,sau khi chia hai vế cho $p^n$ ta sẽ thấy rõ ngay sự vô lí . Do đó $m(p-1)=n$. Tương tự ta cũng thu được $n(p-1)=m \Leftrightarrow m=n \Rightarrow p=2$ (vô lí) 
Giờ ta xét trường hợp chỉ tồn tại duy nhất $1$ trong hai số $x,y$ chia hết cho $p$ rõ ràng đây là một điều vô lí 
Xét $p \not \mid x,y$ ,từ hai phương trình trên ta suy ra  $v_p(x-y)=l$ với $l=max(a,b)$ 
Xét $x^p-y^p=(x^{p-1}+y)x-(y^{p-1}+x)y=p^ax-p^by$ 
Theo bổ đề LTE : $v_p(x^p-y^p)=l+1$ (*) . Giả sử $a=max{a,b}$ nên từ (*) ta có $l+1=a$ 
Thế vào $(1)$ ,$x^{p-1}+y=p^{l+1} \Rightarrow v_p(x^{p-1}+x)=l$ mà $(y,p)=1 \Rightarrow p^l||x^{p-2}+1$ (3)
Mà $y^{p-2}.p^a-p^b \equiv x[(xy)^{p-2}-1] \equiv 0 \pmod{p^a}$ 
Do đó $(xy)^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}$ áp dụng định lí Fermat : $x^{p-1}, y^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ dẫn đến việc $xy \equiv 1 \pmod{p}$ 
Ta có bổ đề sau : Số $a$ là nghịch đảo của theo modulo của số nguyên tố $p \Leftrightarrow a \equiv 1$ hoặc $a \equiv -1 \pmod{p}$ (bổ đề mình không chắc về cách phát biểu nhưng ý tưởng kiểu như là cho trước số nguyên tố $p$ khi đó xét số nguyên dương $a$ nào đó nếu $ax \equiv 1 \pmod{p} \Leftrightarrow a \equiv 1$ hoặc $-1,\pmod{p}$ 
Áp dụng bổ đề ta có $x  \equiv -1 \pmod{p}$  do đó $p^l||x+1$ 
Suy ra $x+1 \ge p$ hay $x \ge p-1$ mà ta dễ thấy $y(y^{p-2}-p) \le p-x \le 1$ 
Mà $y \equiv -1 \pmod{p}$ suy ra $y +1\ge p$ (4) mà ta có trường hợp $y(y^{p-2}-p)=1$ hay bằng $0$ ta kiểm tra sẽ thấy không đúng 
Do đó $y^{p-2}-p <0$ kết hợp với (4) ta có $y+1 \ge p>y^{p-2}$ điều này sẽ không đúng với $p>3$ do đó $p=3,y=2$ 
Thế lại vào (1),(2) ta có $x^2+2=3^a,4+x=3^b$ Suy ra $(3^b-4)^2+2=3^a$ từ đó suy ra nghiệm của bài toán là 
$(x,y,p)=(x,y,2),(5,2,3),(2,5,3)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 27-09-2016 - 21:28