Chủ đề này có 4 trả lời

[supernatural1]

Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases} x=2^{1-y} \\  y=2^{1-x} \end{cases}$

[12345678987654321123456789]

Dễ thấy $x,y$ không âm

Từ đề ta có $\left\{\begin{matrix} x.2^y=2\\ y.2^x=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow x.2^y=y.2^x\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{2^x}{2^y}$

Nếu $x>1$ thì $2^{1-y}>1\Leftrightarrow 1-y>0\Leftrightarrow y<1$

Từ đề ta lại có $\left\{\begin{matrix} x^{x}=2^{x(1-y)}=2^{x-xy}\\ y^{y}=2^{y(1-x)}=2^{y-xy} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x^{x}}{y^{y}}=\frac{2^{x-xy}}{2^{y-xy}}=\frac{2^{x}}{2^{y}}=\frac{x}{y}$

Do đó $x^{x-1}=y^{y-1}\Rightarrow x=y$ Mà $x>1,y<1$ nên $x$ khác $y$

Vậy ta loại TH $x>1$

 

Tương tự ta cũng loại được trường hợp $x<1$

 

Xét TH $x=2^{1-y}=1\Leftrightarrow 1-y=0\Leftrightarrow y=1$ Thử vào PT còn lại thấy đúng

 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 25-08-2016 - 00:17

[An Infinitesimal]

 

Dễ thấy $x,y$ không âm

 

 

....

 

Nếu $x>1$ thì $2^{1-y}>1\Leftrightarrow 1-y>0\Leftrightarrow y<1$

......

 

$x^{x-1}=y^{y-1}\Rightarrow x=y$....

 

Bạn thử kiểm tra lại hoặc viết rõ hơn nhen!

 

 

--------------------

Ý tưởng ban đầu: mình hi vọng áp dụng định lý Rolle, Lagrange hoặc Cauchy nhưng chưa thành công!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 25-08-2016 - 11:18

[An Infinitesimal]

Giải hệ phương trình sau:

$ x=2^{1-y} $

$ y=2^{1-x} $

 

Từ hệ ta có $x, y>0.$

Trường hợp 1: $x=y>0$

Trong trường hợp này ta dễ dàng chỉ ra hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)=(1,1)$.

Trường hợp 2: $x\neq y>0$

"Không mất tính tổng quát", ta có thể giả sử $0<x<y$.

Từ hệ, ta có 

\[\frac{2^x}{x}=\frac{2^y}{y}.\]

Từ khảo sát hàm số $f(t)=\frac{2^t}{t}$ với $t>0$ cùng giả định $x<y$, ta sẽ có 

\[x< \frac{1}{\ln{2}}<y,\]

và

\[ f(t) \ge \frac{2}{\ln{2}} \forall t>0.\]

 

Hơn nữa, từ hệ phương trình, ta dùng phương pháp thế dẫn đến phương trình theo $y:$

\[\log_2 y= 1-2^{1-y}.\]

\[\iff \log_2 y+2^{1-y}-1=0.\]

 

Đặt $g(t)= \log_2 t+2^{1-t}-1$ với $t> \frac{1}{\ln{2}}.$

Ta có \[g'(t)= \frac{1-t2^{1-t}\ln^2{2}}{t\ln{2}}\ge \frac{1-\ln^3{2}}{t\ln{2}}>0.\]

Suy ra $g(t) > g\left( \frac{1}{\ln{2}}\right)>0.$

Trong trường hợp này hệ vô nghiệm.

 

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất như trên.

 

-------------------------------------------------------------------------

Sau khi giải, ta có thể thu gọn lời giải như sau

 

 Từ hệ phương trình,  ta có điều kiện $x, y>0$. Và ta dùng phương pháp thế dẫn đến phương trình theo $y:$

\[\log_2 y= 1-2^{1-y}.\]

\[\iff \log_2 y+2^{1-y}-1=0.\]

 

Đặt $g(t)= \log_2 t+2^{1-t}-1$ với $t>0.$

Nhận xét: $f(t)=\frac{2^t}{t}\ge \frac{2}{\ln{2}} \forall t>0.$

 

Ta có \[g'(t)= \frac{1-t2^{1-t}\ln^2{2}}{t\ln{2}}\ge \frac{1-\ln^3{2}}{t\ln{2}}>0.\]

Hơn nữa $g(1)=0$ nên hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)=(1,1).$

 

 

(Hi vọng không có tính toán hay lập luận sai, nhầm lẫn!)

[An Infinitesimal]

@supernatural1: 

Bạn có biết "luật" không đăng bài "Đề ra kỳ này" trên báo TH&TT khi bài còn hạn hay không?

(Mình mới mua tờ báo T8 mới biết bạn này đã đăng ít nhất 2 bài trong số đó!)

 

http://diendantoanho...-của-biểu-thức/